“教育数学”研究中的问题与建议

2015-11-01王成营

数学教育学报 2015年5期

王成营

（湖北工程学院教育与心理学院，湖北孝感 432000）

“教育数学”是张景中院士（1989）参照欧几里得的《几何原本》、柯西的《分析教程》和布尔巴基的《数学原理》等诸位教育数学大师的著名教材范例，创造性地提出，并积极地倡导的一个全新的数学教育理论，并出版了著作《从数学教育到教育数学》[1].教育数学概念提出伊始就被寄予厚望，被认为是提高中国数学教育水平、拓广学生视野、改变数学教学方法、降低数学学习难度的可行方案.为了实现教育数学的学科化，在全国数学界、教育界等同行专家的共同努力下，中国高等教育学会于2004年5月15日专门成立了教育数学专业委员会.然而，在中国知网（CNKI）中检索近30年来的期刊论文，有关“教育数学”的研究论文仅有十几篇，其影响未及预期.既然数学被认为是最难学、最难懂的课程，而教育数学提供了一个可以降低数学学习难度，提高数学教学效率的研究理论和研究方向，为什么关注的人如此之少，教育数学的学科化进程如此缓慢呢？研究者在综述教育数学研究现状的基础上，针对其中的几个问题，提出了几条建议与同仁商榷，希望能为教育数学研究注入些许活力，使教育数学能够走入课堂，深入一线教师心中，其不妥之处请张院士及关注教育数学发展的专家批评指证.

1 教育数学的研究现状

1.1 教育数学内涵方面的研究状况

在国外，20世纪50年代，美国教育心理学家布鲁纳曾经依据认知学习理论发起了“新数学运动”，将全部数学归结于代数结构、序结构和拓扑结构3种母结构，本质上也是对数学知识的一种结构化和系统化改造，但这种改造主要是基于心理学立场，而不是教育学立场.除此之外，国外尚未发现与“教育数学”相关的研究成果和文献.在国内，张景中院士提出教育数学概念之前，徐利治先生（1949）最早注意到文化数学的重要性，认为数学哲学、数学史与数学教育的结合是数学教育改革的一个重要方向，是培养学生数学思维能力的关键[2].郑毓信（1999）分析了数学史、数学哲学与数学教育的重要联系，提出并建构了数学文化学的基本框架[3].在张景中院士提出教育数学概念后，郑余梅（1999）首先对《从数学教育到教育数学》的观点表示赞同，认为书中所提出的问题具有普遍意义，数学教育和教育数学代表着两个不同的研究领域[4].沈文选（2003）认为教育数学是与纯粹数学、应用数学并列的第三个研究领域，主张教育数学的研究可先从数学现实、数学难点、数学新点等方面着手，然后再进行理论体系建设[5].为了帮助大家更好地理解“教育数学”，张景中院士（2004）比较了教育数学与数学教育的关系，提出了教育数学研究的3条原理：在学生头脑里找概念；从概念里产生方法；方法要形成模式[6].沈文选（2004）论述了数学教师专业化与教育数学研究的关系，认为数学教师专业化的措施之一是深入进行教育数学研究[7].张奠宙（2005）认为数学有原始形态、学术形态和教育形态3种形态，教育数学是具有教育形态的数学[8].张雄（2006）认为数学分为研究性数学和教育性数学，研究性数学主要注重科学逻辑的序，而教育性数学则注重科学逻辑的序与认知心理的序之间的完美结合，是在研究性数学基础上的再创造、再提高[9].黄龙源、肖锡锰（2007）则认为教育数学是一门涉及数学方法论、数学课程论、数学教育学以及教育经济学等学科的交叉性、边缘性很强的学科[10].

1.2 教育数学应用方面的研究状况

除了“教育数学是什么”的讨论外，有学者尝试对教育数学进行应用性研究.李光华、黄儿松（2006）从教育数学的视角探讨了《高等数学》的教学方法[11].訾玉梅（2007）根据教育数学思想探讨了中学数学教改问题[12].韩云瑞、刘庆华（2005）[13]与王成营（2008）[14]相继探讨了教育数学观点下的高等数学教材改革问题.沈文选、吴仁芳（2009）探讨了教育数学研究的行动纲领和主要途径问题[15].2010年，张景中院士牵头、组织知名数学家、院士、名师、专家、科普作家执笔撰写了《走进教育数学》丛书，着力改造传统数学体系，使之更适宜于教学和学习需要，从学术高度、历史高度、文化高度和欣赏高度设计取材，谋篇布局，代表着教育数学自提出以来的最大成果.

2 教育数学研究中存在的问题

深入考察教育数学的研究成果可以发现，阻碍教育数学发展的原因主要在于两个方面.

2.1 教育数学的研究定位存在偏差且距离数学课堂教学较远

一方面，研究教育数学的目的是教育取向的——教育数学被看作是“教育形态的数学”（张奠宙）、“教育性数学”（张雄），或者是“交叉性、边缘性很强的学科”（黄龙源）.然而，这些研究结论都属于定性研究，没有从根本上回答“教育数学是什么”的问题，也无法让人们获得如代数学、几何学那样，有明确对象和内容的认知观念；另一方面，张院士所呈现出来的教育数学是数学取向的——“教育数学”被明确界定为“教育数学家”重新构造的数学“经典教程”或教育性数学材料，是一种“公理化”的数学，因而其本质上仍属于基础数学范畴，需要“数学教育家”进一步进行教学法的加工，才能形成数学教材，才能进入课堂为师生服务.可见，研究教育数学的目的与实际成果之间存在明显偏差.事实上，不仅“教育数学家”与“数学教育家”在现实中难以区分和界定（通常是指同一批人），而且建立在少数数学概念或经验（比如面积或无穷）基础上的“教育数学”在形式上与现行数学教材差异显著，在内容上距离数学课堂教学太远，广大的数学教师无法直接从教育数学中获益，自然难以吸引他们关注教育数学研究.

2.2 实践取向的教育数学研究范式尚未形成且一线数学教师无从把握

一方面，从张院士关于将“平面几何”建立在“面积”基础上，将“极限概念和实数理论”建立在“无穷”基础上的研究范式看，教育数学的研究范式是理论取向的，其中有很多数学知识（如“共边比例定理”、“共角比例定理”、“无界不减列”[6]等）与现行数学教育内容是脱节；另一方面，张院士没有提供从教育数学（教育性的数学材料）到数学教材，再到数学课堂教学的研究范式，一线数学教师不仅感觉不到教育数学与数学教学的联系，更无法将其应用于数学教育实践.

3 教育数学研究未来发展的建议

综上所述，研究者认为教育数学应该回归它的本然——以服务数学教育，提高数学教育效率和质量为目标的特殊的数学知识组织形态，教育数学研究应该为数学教与学提供有效的、可操作的数学呈现方式和操作模式.为此，研究者提出如下建议，与同仁商榷.

3.1 建议调整教育数学的研究主体

依据张院士的观点，数学家们创造的零散的数学成果，需要教育数学家依据“三条原理”进行再创造，形成系统化的教育数学，再经由数学教育家进行教学法的加工，形成师生共同使用的数学教材.其中需要思考这样几个问题：首先，数学教育家与教育数学家除了字面上的区别外，有什么本质不同？数学教材的编著者如何整合数学教育家、教育数学家、数学教师的教育思想和理念？其次，教育数学家如何“从学生头脑里找概念”？如果找到的学生头脑中的“概念”千差万别怎么办，又依据什么确定以某个概念（比如面积）作为建构数学知识体系的基础概念呢？再次，不论是在教育数学家对数学成果的再创造过程中，还是数学教育家对教育数学的教学法加工中，一线的数学教师和学生在其中应该扮演什么样的角色，又如何反映他们的实践需求呢？最后，如果教育数学的内容体系与现行数学教材的内容体系差别巨大，是系统改革现有的数学教育教学体系，使其适应教育数学需要，还是转变教育数学研究方向，使其服务于当前的数学教育教学需要呢？如果一线的数学教师和学生不能成为教育数学的建构主体，教育数学就很难实现其既定目标.因此，建议扩充教育数学的研究主体，为一线教师预留相应的位置和空间.

3.2 建议重新定位教育数学

研究者认为，从教育学视角，数学可划分为经验数学、基础数学、应用数学、人文数学4种形态.其中，经验数学是指人们在日常生活、生产实践中获得的数学经验，它是对情境的数学感知，是一种隐性的数学知识，是进行有效数学教育教学的基础；基础数学也叫纯粹数学，是按照数学理论内部的发展需要，或未来可能的应用需要，对数学结构本身的内在规律进行研究所形成的理论知识，它以纯粹形式（抽象的数学符号系统）研究事物的数量关系和空间形式，而不要求同解决其它学科的实际问题有直接的联系，是数学教育教学的核心内容；应用数学是以基础数学为工具，去解决工作、生活中的实际问题过程中所形成的理论、模型和方法的总称，主要内容是研究如何运用基础数学知识解决科学研究中的各种实际问题，是数学教育教学的重要内容.人文数学是从文化的立场出发，通过数学故事、数学人物、数学问题、数学方法、数学应用、数学史、数学美与数学哲学等多种材料、多种形式、多种视角，努力展示抽象的基础数学与应用数学中所蕴含的丰富的人文内涵，实现数学科学与人文科学的交相辉映、融合，是数学教育教学的重要途径和手段.例如，杨渭清[16]、张晓拔[17]、康世刚、胡桂花[18]等分别探讨了数学史在数学教育中的价值和与数学教育的整合问题.教育数学不是独立于以上4种数学形态的一种新的数学形态，而是它们的融合，是基于4种不同的数学视角对教材中的数学知识的多元意义建构（如下所示）.

教育数学不应是由那位或几位数学教育家或教育数学家构造的一种新的数学知识体系，而应从服务数学教育教学实践出发，根据数学教育教学实践中的信息反馈，对数学教材进行教育取向的再加工，使其能够更有效激发学生已有的数学经验，更有助于学生对数学知识的理解和建构的一种综合性数学知识形态.因此，教育数学研究的核心首先是依据教育实践中的反馈信息对现有数学教材中的知识进行“多元意义建构”，为师生“提供一个基本的意义建构框架或模式”[19]，帮助学生对数学知识形成结构性、整体性认识，其次才是针对现有数学教材中存在的问题对数学教材中的数学知识进行重构.

3.3 建议重构教育数学的研究范式

当前，围绕初等数学主要有3种研究范式：一是以《走进教育数学》丛书为代表，以公理化思想为指导，基于张景中院士的“三条原理”进行数学知识再创造的研究范式；二是以德国数学家F·克莱因的名著《高观点下的初等数学》为代表，以高等数学的观点来认识和理解初等数学知识的研究范式；三是以陈传理的《竞赛数学教程》为代表，以初等数学的知识和方法来研究和解决高等数学问题的研究范式.然而，这3种研究模式通常是服务于数学教师培训、“数学培优”或“数学竞赛”的，不能直接服务于数学课堂教学，这在一定程度上不符合教育数学研究的初衷.

为此，研究者建议根据数学教育教学的实践需要重构教育数学的研究范式.首先，数学知识在形式上表现为不同的数学符号序列、组合或结构联结而成的符号文本，所以教育数学研究应注意分析数学文本符号的结构特征，探讨数学文本符号的“要素结构”、“联结结构”、“意义结构”[20]，有效防止学生发生感知性错误.其次，数学知识在内容上表现为由数学概念、数学命题、数学问题3种数学知识类型构成的数学知识结构，所以教育数学研究应根据不同类型知识的特点探讨不同的研究范式；再次，数学知识在理解过程中存在数学经验水平、数学知识水平、数学知识结构水平、数学思想方法水平4个不同层次，教育数学研究应在每一种研究范式中区分出4个层次，以便于教师准确判断学生的理解水平，进行针对性的数学教学设计；最后，不论是哪一种研究范式，教育数学研究都应考虑数学知识的由来（发展历史）、结构（构成要素）、类型（分类体系）、模型（知识模块）、方法（思维模块）5个方面的问题，引导学生全面、深刻地理解和掌握数学的知识与技能、过程与方法，帮助学生形成科学的数学情感态度与价值观.

3.4 建议教育数学研究与数学教育教学模式变革密切结合

教育数学理念提出的初衷是为了解决数学教育教学实践普遍存在的数学“难学”、“难懂”问题，“教育数学的目标是把数学变容易”[21].然而，数学是否变得“容易”不是由数学自身属性决定得，而是由数学与学习者的之间的认知关系决定的.传统的数学知识选编模式是建立在教育基本原理和儿童心理发展规律基础上的，凝聚着历代数学教育家的智慧，已为广大数学教师所熟悉、掌握，教育数学研究应根植于中国数学教育实际，解决数学教育教学中的实际问题，不应不顾当前的国情、社情、师情、学情，另起炉灶，为数学教师们呈现完全不同的数学知识.20世纪50年代，由美国数学教育家布鲁纳主导的“新数学运动”的实践历史表明，如果数学教育改革颠覆传统、推倒重来，其影响是深远.张院士改造传统的几何知识处理模式，建立起一套以“面积”为主线的新方法、新体系，虽然可以引导学生从“面积”这个中心出发，到达平面几何的各个角落，“使几何问题也像解代数方程一样有章可循”[1]，但这种新方法、新体系更适合部分重点中学师生的拓展学习，不能满足普通学生的数学教育教学需要.因此，教育数学研究不应局限于数学领域，着力对数学成果的再创造，而应与数学教育研究相结合，着力于对数学成果的教育学改造.

教育数学的研究成效最终要到数学教育教学实践中去接受检验，因而如何变革传统的数学教育教学模式也应成为教育数学的研究内容.数学知识区别于其他知识的特征主要包括符号性、抽象性、结构性、逻辑性、精确性.能否获得数学文本符号背后隐含的数学意义，能否将获得的数学意义组成明确的数学结构模型是破解数学“难学”、“难懂”问题的关键.具体到数学问题解决中，学生“读不懂”数学符号就无法明确题意，“组不成”数学模型就无法确定解决方法.传统数学教育教学注重数学知识的系统讲解，恰恰忽视了“数学符号意义获得能力”[19]的培养和“数学知识结构”的建构.因此，教育数学研究应与数学教育教学模式改革结合起来，逐步培养和提高学生的以“数学符号意义获得能力”和“数学知识结构建构能力”为核心的数学自主学习能力和数学创新能力.

教育数学研究与数学教育研究的结合主要表现在研究成员的构成、研究问题的选择、研究成果的检验3个方面.在研究人员的构成上，教育数学研究团队应包括数学史、基础数学、应用数学、数学哲学、数学美学、数学思想方法等方面的专家与不同类型、不同层次学校的一定数量的师生，以保障教育数学研究能够取得具有广泛共识的研究成果.在研究问题的选择方面，宜采取“民主集中制”：先由研究团队成员基于各自立场提出教育数学研究的主要课题，再在集体讨论、有效整合的基础上，共同确定教育数学研究的核心课题与课题研究的先后次序.在研究成果的检验方面，教育数学研究团队应密切合作：一方面，在理论研究与方案设计中，来自的一线的师生要充分发挥自己的经验优势，为数学和数学教育专家提供修改建议；另一方面，在方案实施中，专家要进行全程指导，将方案的设计意图真正转变为一线师生的数学教育教学活动行为.

综上所述，“改造数学使之更适宜于教育”[21]是教育数学的终极任务.“教育数学”不应以欧几里得的《几何原本》、柯西的《分析教程》、拉格朗日的《解析函数论》那样的纯数学著作为研究“蓝本”，而应以改造现行数学教材，使之更有效地服务于数学教育教学实践为研究目标.教育数学不应是为数学教育家提供的待加工的“数学材料”，而应是为广大师生提供的易于“消化和吸收”的“数学食材”.教育数学只有实现这种研究转向，才能受到广大师生的欢迎，取得应有的社会效益.

[1]张景中，曹培生.从数学教育到教育数学[M].成都：四川教育出版社，1989.

[2]徐利治，王前.数学哲学、数学史与数学教育的结合——数学教育改革的一个重要方向[J].数学教育学报，1994，3（1）：3-8.

[3]郑毓信.数学文化学：数学哲学、数学史和数学教育现代研究的共同热点[J].科学技术与辩证法，1999，（1）：51-54.

[4]郑余梅.数学教育与教育数学[J].成人高教学刊，1999，（3）：6-8.

[5]沈文选.数学教育与教育数学[J].湖南师范大学教育科学学报，2003，（2）：64-68.

[6]张景中.什么是“教育数学”[J].高等数学研究，2004，（6）：2-6.

[7]沈文选.数学教师专业化与教育数学研究[J].中学数学，2004，（2）：1-4.

[8]张奠宙.教育数学是具有教育形态的数学[J].数学教育学报，2005，14（3）：1-4.

[9]张雄.研究性数学、教育数学与数学教育[J].陕西教育学院学报，2006，（2）：9-12.

[10]黄龙源，肖锡锰.教育数学认识[J].科技信息（学术研究），2007，（32）：173.

[11]李光华，黄儿松.从教育数学谈《高等数学》的教学方法[J].科技经济市场，2006，（1）：9-11.

[12]訾玉梅.用教育数学思想看中学数学教改[J].当代教育科学，2007，（19）：57.