不同思维类型对数学解题的影响研究

张跃红

（南京师范大学附属中学，江苏 南京 210003）

1 问题提出

思维类型的研究由来已久.美国学者安东尼·格里高根据知觉的具体与抽象，规则的次序与随机将人类的思维分成了4种：具体而有序的思维、抽象而有序的思维、具体而随机的思维、抽象而随机的思维[1].具体分类及其特征如下：

安东尼的研究受到广泛的重视，在许多学科学习研究中被引用.目前，思维类型在数学学科对学习产生影响的研究，主要是针对单一类型的思维.比如，发现性思维的调查分析[2]、数学创新思维的魅力[3]、学生创造力发展的实验研究[4]、中学生数学学习中抽象概括的思维障碍研究[5]，等等.那么，这4种思维类型对数学学习的影响，特别是它对数学解题的影响是怎样的？就此类问题进行的针对性研究尚显匮乏.鉴于此，从实证研究的角度探讨不同思维类型对数学解题的影响状况，以期获得发展思维能力、提高解题效能的策略与建议.

2 研究方法

2.1 研究目的

通过对不同思维类型学生解决问题的过程分析，了解学生解决问题过程中的思维方式，引导学生在解决问题过程中充分发挥自己的思维优势，扬长避短.同时，在教学中可以因材施教，给学生提出合理性建议，帮助他们发展思维能力，提高学习效率.

2.2 研究对象

考虑到研究的可操作性和代表性，选取南京师范大学附属中学高一年级的4个班（2个普通班和2个实验班），高三年级2个班（1个物生普通班和1个物化实验班）.每班40人，共计240人.

其中，高一实验班的成绩明显高于普通班，历次考试的班级均分（满分100分）的差值在10分左右；高三物化实验班是南京师范大学附属中学高三年级成绩最好的班级，历次考试与物生普通班的均分（满分200分）相差25分左右.

选择不同年级的学生参与测试的目的是，统计分析思维类型是否会随着年龄及所学知识的丰富而有所改变；选择不同层次的班级参与测试的目的是，统计分析学习成绩是否与思维类型有着必然的联系.

2.3 研究过程

研究工具：采用的是2014年3月19日举行的“中法中学生数学交流活动”测试题目中的第6题进行测试.

如图，四边形ABCD四个顶点的坐标为A(-4, 2)、B(2,-6)、C(3, 6)、D(1, 2).请在答题纸对应图中画出这个平面直角坐标系，并叙述作法.

此题目的解法众多，且不同解法在思考角度上有较大区别，能很好地体现不同思维类型的学生在解决相同问题时反映出的差距，有利于问题的研究.

测试时间及要求：所有学生答题时间均为15分钟，不分年级与层次.要求学生写出详细的解答过程，如若不能将题目完整解答，也请写出自己或多或少的想法.

测试结束后，收回有效试卷（非空白卷）240份.之后，将所有有效试卷进行分类统计分析.

3 数据统计与分析

在收回的有效试卷中，其中有52份（高一普通班27份，实验班25份）未得到正确答案，其余的188份试卷全部正确，正确率为78.33%.高一普通班的正确率为66.25%，实验班的正确率为68.75%；高三两个班的正确率均为100%.高三与高一学生完成本题的正确率差距较大，而同一年级的差距不大.通过统计，正确解答的主要方法共有12种.而在12种解法中，主要集中在方法3和方法6.采用方法2的人数最少，其他方法人数相差不多.每种方法获得满分的人数及所占比例见表1.

表1 测试结果

结合安东尼提出的4种思维类型，经过对12种方法的比较分析，进行了如下划分.

3.1 具体而有序的思维

具体而有序的思维是有条理的、有序的、线性的，即思维沿着由低到高、由浅到深、由远到近的程序一步步推进，是一种单向的、单维的，缺乏变化的思维方式.他们的解题过程往往是从模仿入手，通过对知识的内化，能形成良好的解题习惯[6].

方法1：如图1，以A、B、C、D四点为圆心，分别以、2、3、为半径作圆，4个圆的交点即为原点.又因为A、D两点的纵坐标相等，所以x轴为过原点且平行于AD的直线，y轴为过原点且垂直于AD的直线.最后，根据各点坐标值的大小确定x轴的正方向向上，y轴的正方向向左.

方法2：如图2，由A、D两点的纵坐标相同，可知x轴平行于直线AD，y轴垂直于直线AD.又线段AD的长为5个单位，P为其中一个五等分点，过点P作AD的垂线即为y轴，再将点P向右移动2个单位长度，得到原点，过原点作y轴的垂线为x轴，最后确定坐标轴的正方向.

这两种方法体现的是具体而有序的思维特点.

图1 方法1图

图2 方法2图

方法1，根据坐标系的定义，按着先确定原点再确定坐标轴的顺序，按部就班的完成.在确定原点时，没有突出某些点的坐标的特征，4个点坐标一起使用.

方法2，是按照先确定坐标轴再确定原点的顺序完成的.在确定坐标轴时，紧紧围绕A，D两点坐标进行，没有考虑其它点的坐标特征.

可以看出，具有此类型思维特征的学生，在解决数学问题时，思维方式比较单一，不善于联系各个点之间的关系以及多角度观察已知条件，要么4点平等对待，要么只关注其中的两个点，思维的发散性偏弱.

从统计结果来看，使用方法1的学生有9人，方法2仅有1人.不同年级相比，高一所占比例偏高；不同层次相比，实验班与普通班基本相同.其中，使用方法1的两名高三学生，并没有画出四个圆，而是画出了半径为、2、3的3个圆来确定原点.这3个数值存在关系，且少画一个圆，显然更易操作.

3.2 抽象而有序的思维

抽象而有序的思维是逻辑、有序的，对数学文字语言非常敏感，而且善于阅读，能抓住关键点和重要的细节，分析问题有条理[6].但在思考问题时，发散性思维、创造性思维较弱.

方法3：如图3，由A、D两点的纵坐标相等，且BC中点M的纵坐标为0，所以x轴为过点M且平行于AD的直线.又AD之间的距离为5个单位，选择靠近点D的一个五等分点P，过点P作垂直于x轴的直线为y轴，两轴的交点为原点，最后确定坐标轴的正方向.

方法4：如图4，由题设可知CD的中点N的坐标为(2,4)，则C(3, 6)，N(2, 4)，D(1, 2)三点与原点O共线，且OD＝DN＝NC，故可在射线CD上找到原点O.又因为A、D两点的纵坐标相等，所以x轴为过原点且平行于AD的直线，y轴为过原点且垂直于AD的直线.最后确定坐标轴正方向.

图3 方法3图

图4 方法4图

方法5：如图5，可求出CD中点N的坐标为(2, 4)，则C(3, 6)、N(2, 4)、D(1, 2)三点与原点O共线，且OD＝DN＝NC，故可在射线CD上找到原点O.又因为B、N两点的横坐标相同，所以y轴为过原点且平行于BN的直线.又D、A两点的纵坐标相同，所以x轴为过原点且平行于DA的直线.最后确定坐标轴的正方向.

图5 方法5图

以上3种方法体现的是抽象而有序的思维特点.

方法3，抓住了A、D和B、C两点坐标的特征来建立坐标轴.建立y轴是靠A、D两点的坐标，没有利用其它条件.

方法4、5，均发现了C、D两点的连线过坐标原点的特征.在确定原点位置时，这两种方法很相似，均是利用距离，而没有利用其它条件.

可以看出，具有此类型思维特征的学生，在解决数学问题时，能发现问题的关键点（比如，A、D两点的纵坐标相等，B、C两点的纵坐标互为相反数，C、D两点的连线过原点）.但是，他们挖掘题目中隐藏的信息的深度，以及多角度观察问题的能力还有待提高.比如，方法3在建立y轴时，如果再想想题目中其它点的特征，就会回避将AD五等分这种比较麻烦的方法.使用方法4、5的学生，发现了C、D两点连线过原点的特征是难能可贵的，但是在确定原点时，仅靠距离，则思维略显单一.如果能挖掘出x轴是过BC中点且平行于AD的直线，思维则会提高一个层次.

3.3 具体而随机的思维

具体而随机的思维有创造性，发散思维能力强[6].但是，发散的结果有正有误，有优有劣.

方法6：如图6，由C(3, 6)、D(1, 2)两点坐标成比例关系，可知原点在直线CD上.又A、D两点的纵坐标相等，且BC中点M的纵坐标为0，所以x轴为过点M且平行于AD的直线l，直线l与直线CD的交点即为原点.过原点作x轴的垂线得y轴，最后确定两轴的正方向.

图6 方法6图

方法7：如图7，可求出CD中点N的坐标为(2, 4)，与点B(2,−6)横坐标相同，所以y轴平行于直线BN.又A、D两点的纵坐标相等，且BC中点M的纵坐标为0，所以x轴为过点M且垂直于BN的直线.过点D作平行于BN的直线l，量出两平行线l与BN之间的距离，再将直线l向下平移此距离得到y轴，x轴与y轴的交点即为原点.最后确定坐标轴的正方向.

图7 方法7图

方法8 如图8，可求出CD中点N的坐标为(2, 4)，而B点坐标为(2,−6)，所以y轴平行于直线BN.又因为BC中点M的纵坐标为0，所以x轴为过点M且与直线BN垂直的直线.又C(3, 6)、D(1, 2)两点坐标成比例关系，所以原点为x轴与直线CD的交点.过原点作x轴的垂线为y轴，最后确定两轴的正方向.

图8 方法8图

方法9：如图9，由2|xB|=|xA|，可知y轴过AB靠近点B的三等分点M.又因为3|yA|=|yB|，可知x轴过AB靠近点A的四等分点N.A、D两点的纵坐标相等，过点M作AD的垂线为y轴，过点N作AD的平行线为x轴，两轴交点为原点，最后确定坐标轴的正方向.

图9 方法9图

方法10：如图10，可求出BC中点M的坐标为, 0)，AB中点N的坐标为(−1,−2)，AN中点E的坐标为(−,0)，所以ME所在的直线为x轴，原点为ME的中点.过原点作x轴的垂线为y轴，最后确定两轴的正方向.

图10 方法10图

方法11：如图11，可求出AB的中点M坐标为(−1,−2)，与D(1, 2)关于原点对称，故原点为DM的中点.又因为A、D两点的纵坐标相等，所以x轴为过原点且平行于AD的直线，y轴为过原点且垂直于AD的直线.最后确定坐标轴的正方向.

图11 方法11图

以上6种方法体现的是具体而随机的思维特点.

在这6种方法中，均使用了题目中某些已知点的中点或某些点的坐标成比例的关系，比如点M、N、E.这些点在已知条件中并不存在，却能被发现，说明思维的发散性很好.而具有发散的思维，往往是解决难题的关键所在.因为解题的难点往往在于“联想”，即从表面一些不相关的条件中，能寻找到相关的联系.

但是另一方面，发散却有优有劣.比如，方法6、7、8都是利用C、D两点坐标特点，但方法6在思路上就比较简捷，操作上也容易，不需要太多的度量，只要作出B、C的中点，问题就得以解决，而另外两种就稍显麻烦；而方法9、10、11都是利用A、B两点坐标特点，但方法9就比另外两种在操作上复杂了很多.

从统计结果来看，使用上述6种方法的人数占总人数的近一半，且方法6人数众多.不同年级相比，高三所占比例明显高于高一；不同层次相比，实验班所占比例略高于普通班.由此可知，被调查的大多数学生本身的思维发散程度比较好，有一定的创造能力，且这种能力会随着知识的丰富、年龄的增长而提高，并且这种能力还有助于提高他们的成绩.

3.4 抽象而随机的思维

抽象而随机的思维善于思考，但思维太散，随意性强，且易受情绪影响[6].

方法12：先在通常情况下的直角坐标系中画出A、B、C、D四点的位置，然后观察所得图形与题目中图形之间的关系.可以看出，将其按逆时针方向旋转90°即可得到题目中的图形形状，从而得到新的坐标系.

此方法体现了抽象而随机的思维特征.

可以看出，使用此方法的学生的思维发散程度很高，他们没有按常理“出牌”，出其不意，想到非常简捷的解法.但是，他们的思维明显缺乏严谨性，书写也比较随意，不规范.比如，在用此方法的19人中，无一人对此方法作出解释，而仅仅只是给出“旋转90°即可的”结论.

从统计结果来看，不同年级相比，高一所占比例明显高于高三；不同层次相比，普通班所占比例高于实验班.这说明，一方面，随着知识的丰富，能力的增强，所做题目的增多，却让部分学生形成了“思维定势”，即认为解决数学问题一定要靠计算，而忽略了直觉的判断，忘记了最本能的解决问题的方法（比如，试一试，猜一猜，等等）；另一方面，成绩较好的学生一般会比较严谨，更看重逻辑推理.

4 结论与建议

从前面的调查研究可以看出，每种思维类型反映在解决数学问题时，各自的特点不同，都存在着优势和劣势，这给教师的教学提供了有利的帮助.可以让教师在教学中，进行合理的设计，有针对性的提升不同学生的思维层次，对学生进行有效的思维培养，让每一位学生都能在自己现有的思维水平上有所提高.

4.1 结 论

鉴于调查研究的结果，可以得到以下一些结论.

（1）人类的思维有不同类型，而任何有效的思维都必须具有确定性亦即自身同一性，这是人们所公认的[7].虽然思维具有确定性，但是思维品质却可以提升.比如，同样使用方法1的不同年级的学生，高三学生明显优于高一.所以，随着学习能力的提高，知识的丰富，思维方式是能进行优化的.

（2）思维类型虽然各异，但并无好坏之分，只是思维方式不同而已.比如方法2，虽然在操作上比较复杂，但是从另一方面来看，此种解法只用到了两个点的坐标，使问题的条件精简了许多，也是非常难能可贵的.所以，只要了解各种思维类型的利弊，扬长避短，使不同思维类型得以提升，它们都能成为有效的学习方式.

（3）从调查结果来看，在12种方法中，不同层次的班级，实验班与普通班所占的比例有差距，但差距并不是很大.在思路相对比较简捷的方法6中，普通班所占比例还高于实验班.所以，思维类型与成绩并无直接的、必然的联系.

（4）在答案正确的188人中，有162人具有抽象而有序、具体而随机的思维特征.所以这两种思维类型，是学生的主要思维方式，了解这一特点有利于教师的教学.

4.2 建 议

为了提升各种思维类型的层次，有如下一些建议.

（1）具体而有序思维的学生，要多做发散性、创造性思维的练习.教师在平时的教学中，就要引导学生学会多角度观察问题，养成多方法解决问题的习惯.此外，教师还要抓住课堂上抽象概括的机会，比如概念的建构、问题解决的过程，培养此类学生的抽象概括的能力.

由于此类学生知识的获得往往从模仿而来，所以他们更需要独立思考，教师不能越俎代庖.如果教师一味的告诉，而不让学生亲自体会，学生永远都是在模仿教师，而模仿是不能被超越的.

（2）抽象而有序思维的学生，需克服思维定势的消极影响，对待问题能从正反两个方面进行考虑，采用顺繁则逆、正难则反的思维策略.此外，要注意发散思维的养成，加强思维的灵活性，加强逻辑推理方面的练习.欲学好数学需要“灵活”，而“灵活”思维的形成需要教师指导.在教学中，要指导学生学会分析、比较，学会在遇到不同问题时，能合理选择方法，而不是一味的生搬硬套.

（3）具体而随机思维的学生，需培养有序思维、集中思维的能力，研究解题过程的每个环节，总结经验、积累方法.教师要鼓励此类学生做好题后的反思总结，反思总结能让教师积累更多的经验，有更多的解题途径，并能在各种途径中选择最佳方案，少走弯路.

由于发散思维的结果有正有误，有优有劣.所以，经过发散思维后，必须运用集中思维，去粗取精，去伪存真，这样思维才能更进一个层次.

（4）抽象而随机思维的学生，善于思考问题，却易受情绪的影响，所以教师要舍得给学生时间，让他们自己思考、表达，要有耐心，学会等待.让学生的思维充分暴露出来，有错误就找原因，不要扑灭学生思维的“火花”.

此类学生要善于调整自己的学习情绪，发挥自己的长处，多与其他人探讨，取长补短，提高自己思维的严谨性、批判性.

[1]Anthony Gregory.The Mind Styles Model: Theory, Principles, and Applications: Learner’s Dimension[M].Columbia,Conn.on Computers in Education, 1995.

[2]王玉敏.初中生发现性思维的调查分析[J].数学教育学报，1998，7（3）：29-31.

[3]佟健华.数学创新思维的魅力[J].数学教育学报，2000，9（3）：37-40.

[4]武锡环，王大鹿.数学教学中促进学生创造力发展的实验研究[J].数学教育学报，2002，11（1）：93-95.

[5]林少杰.中学生数学学习中抽象概括的思维障碍研究[J].数学教育学报，2012，21（4）：87-91.

[6]张志明.初中生不同思维类型对学习数学影响的研究[D].湖南师范大学，2008.

[7]王政挺.思维的确定性——具体类型及其意义[J].浙江师范大学学报（社会科学版），1990，（3）：22-24.