从虚位移原理到拉格朗日方程

刘伟伟

（沧州师范学院物理与电子信息系，河北沧州　061001）

从虚位移原理到拉格朗日方程

刘伟伟

（沧州师范学院物理与电子信息系，河北沧州061001）

由虚位移原理出发结合达朗贝尔原理得到动力学普遍方程，再有这个普遍方程得到拉格朗日方程。容易看出理论力学比经典力学有更深的理论基础和灵活性。尤其是广义坐标、广义力的引入，以能量为基本概念的动力学方程比牛顿第二定律更具有理论优势。通过方程的应用实例可揭示出这两个方程在分析力学中具有非常重要的理论价值和应用价值。

广义坐标广义力虚位移拉格朗日方程

分析力学是理论力学的重要组成部分，它给出了与牛顿第二定律等价的力学基本方程，提供了解决力学问题的不同方法，拉格朗日方程也是分析力学中一个重要的基本方程。拉格朗日方程是在动力学的普遍方程（达朗伯—拉格朗日方程）的基础上，将各点的坐标xi 、及其虚位移变换为δxi广义坐标qj及其变分δqj后得到的。为了加深对拉格朗日方程的认识和理解，以便能更好地运用它来分析和解决问题，下面将达朗伯原理和虚位移原理结合起来推导出动力学普遍方程和拉格朗日方程。

1　从虚位移原理动力学普遍方程

设由n个质点组成的质点系，由达朗伯→原理知，在质点→系运动的任一→瞬时，任一质点Mi上作用的主动力，约束反力及其惯性力三者构成形式上的平衡力系，即：

（3）式是通过达朗伯虚加惯性力手段和虚位移原理相结合而得到的结果，称为动力学普遍方程，也称达朗伯——拉格朗日方程。

2　从动力学普遍方程到拉格朗日方程

由分析力学，可设主动力为F=（F1，F2，···，Fn），广义力Q=（Q1，Q2，···QN）

如果将位矢对任意一个广义坐标 qj求偏导数，再对时间求导数，则得到

如果作用在系统上的主动力都是有势力，根据有势力的广义主动力

引入拉格朗日函数L=T－V，T是动能，V是势能，得到主动力为有势力的拉格朗日方程

动力学普遍方程中系统的运动是直角坐标来描述的，而拉格朗日方程是用广义坐标来描述系统的运动，两者都可用来解决非自由质点系的动力学问题，对于解决复杂的非自由质点系的动力学问题，应用拉格朗日方程往往要比用动力学普遍方程简便得多。

3　应用举例

为了说明分析力学在解决力学问题灵活、方便且科学上的严谨等优势，我们可通过以下面例题的求解来彰显。

如图1所示，试用拉格朗日方程求单摆的微振动方程和周期。

解：设单摆的摆长为l，摆锤质量为m，取θ为广义坐标，则拉格朗日函数为：

在解题过程中，并没有用大家所熟悉的牛顿第二定律与拉格朗日方程对比来求解。但仍能明显的感觉到，用分析力学解题比用牛顿第二定律的方法简单灵活的多。

图1　

4　结语

在分析力学中，关于力学系统的动力学规律有两种不同的表述，其中之一便是拉格朗日表述，在这种表述中，就是用拉格朗日方程来描述系统的运动规律。

拉格朗日方程的基本特色在于：（1）由于采用广义坐标作基本变量，微分方程式的数目和系统的自由s度数目相同，微分方程的数目是最少的。（2）由于微分方程中不包含约束反力，以及所使用的函数（动能函数、势能函数等）多为标量函数，这和牛顿的力学方程相比较，在解决质点系动力学问题时有很大的优越性。（3）第二类拉格朗日方程是力学系统在具有最一般意义的广义坐标描述下保持形式不变的动力学方程，因此利用该方程来研究力学系统的动力学具有极大的普遍性。因此，可以说，拉格朗日方程是力学中一个非常重要的理论工具。

［1］顾致平.理论力学［M］.中国电力出版社，2011.

［2］周衍柏.理论力学教程［M］.人民教育出版社，1979.

［3］肖士珣.理论力学简明教程［M］.人民教育出版社，1979.