基于策略型消费者的最优广告和定价联合决策?

代云珍++胡培

摘 要： 研究了垄断型销售商面对策略消费者时的最优广告和定价问题。建立了销售商和消费者的动态博弈模型，首先分析了销售商不做广告时的最优策略，接着分别分析了销售商在第一阶段和第二阶段进行广告宣传时的最优广告和定价策略，最后对三种模式下销售商的价格、广告、需求及总利润进行了比较分析。研究发现：销售商进行广告宣传能够提高其利润水平，销售商的最优广告策略依赖于消费者的折扣系数和广告对消费者的影响系数，不同情况下销售商应当采取不同的广告策略。销售商的广告策略并不能提高两阶段总需求，但能提高第一阶段的需求，使销售商的销售进一步集中于第一阶段。

关键词： 策略型消费者；广告；定价；动态博弈

中图分类号： F272 文献标识码：A

Optimal Advertisement and Pricing Policy in the Presence of Strategic Customers

DAI Yun-zhen， HU Pei

（School of Economics and Management， Southwest Jiaotong University Chengdu 610031）

Abstract： The optimal advertisement and pricing policy of the monopoly retailer in the presence of strategic customers is studied. The Stackelberg game model between monopoly retailer and strategic customers is developed. Firstly， we analyze the scenario to be as a benchmark that retailer carries out no advertisement. And then we analyze the modes that the retailer advertises in the first stage and the second stage， respectively. At the end， the retailers optimal price， advertisement， demand and total profit under the three modes is compared. It is found that， the advertisement policy would improve the retailers profit level. The retailer should carry on the different advertisement strategy according to the customers discount factor and the advertisement impact factor. The advertisement could not improve the total demand， but could improve the demand of the first stage.

Keywords： Strategic customers； Advertisement； Pricing； Dynamic game

引言

易逝型商品的价值往往会随时间的推移而下降，销售商的定价策略也往往是动态的。目前越来越多的消费者表现得具有“策略性”：这类消费者会权衡在商品正常销售期和季末处理期购买商品所得到的净效用，选择在正常销售期购买商品或延迟至季末处理期购买商品。Su[1]称这类消费者为策略型消费者。目前，越来越多的企业管理者们已经认识到消费者的策略性行为给企业带来的影响[2]。除Best Buy之外，其他一些大型零售商，如Bloomingdales， Ann Taylor， Gap和Home Depot等也都意识到消费者的策略性行为会导致企业利润水平降低[3]。这些企业也都纷纷采取一些措施来缓解消费者的策略行为对企业造成的影响。因此，在考虑策略型消费者的前提下，采取适当的销售策略来缓解消费者策略性行为对企业的影响、提高企业的收益，就变得尤为重要。本文主要考虑销售商采取广告策略来缓解消费者的策略性行为。

传统的定价理论模型没有考虑消费者的策略行为。Coase[4]首次对策略型消费者的行为进行研究。此后很多学者都试图证明Coase提出的观点[5-7]。Besanko和Winston[8]研究了垄断型厂商和策略型消费者间的博弈。Lai等[9]研究了销售商利用差价返还机制来引导消费者提前购买以减轻消费者策略性行为的影响。Shen和Su[10]对消费者策略性行为在收益管理和动态定价中的应用，讨论了可进一步研究的方向。Su[1]通过估价和耐心两个维度度量消费者，将消费者分为四种类型。研究表明零售商的最优价格策略同时与以上两个维度有关。对于不同类型的消费者，应当采取不同的定价策略。Su和Zhang[11]研究了消费者的策略性行为对供应链绩效的影响。Aviv和Pazgal[12]研究了面对策略型消费者时的季节型商品的最优定价问题。Levin等[13]则研究了面对策略型消费者的多周期定价问题。

国内目前针对消费者策略行为的研究还相对较少。刘晓峰和黄沛[14]研究了基于消费者策略行为的动态定价和库存控制策略。杨慧等[15]研究了消费者表现出策略型或短视型时产品的二阶段动态定价决策问题。彭志强等[16]将再制造产品作为一种柔性补货机制，研究了考虑消费者策略行为的定价和再制造补货问题。李豪等[17]将考虑消费者策略行为的动态定价研究扩展到竞争环境下具有两个零售商时的情况。

纵观以上文献可以发现，目前关于消费者策略行为的研究中尚缺少利用广告策略来应对消费者策略行为的研究。现代企业的产品营销已经离不开广告的宣传。目前对广告的研究主要集中于供应链合作广告[18]、广告商誉模型 [19]、广告销售量模型[20]及市场增长模型[21]等方面。在面对策略型消费者时，销售商应该在第一阶段还是第二阶段进行广告宣传？同时进行广告策略时，销售商应如何定价？这些问题都显得尤为重要。因此，本文的研究重点为在考虑消费者策略性行为的背景下，垄断性厂商应当如何决定自己的广告模式、广告水平以及价格水平，以应对消费者策略行为的影响，实现利益最大化。作为参考，本文首先考虑销售商不进行广告宣传时的价格策略及最优利润，然后考虑销售商分别在第一、第二阶段进行广告宣传时的广告和价格策略及最优利润，对三种情况下销售商的策略及利润进行比较分析，得出销售商在不同情况下的最优广告模式及策略。

1问题及假设

垄断型销售商在市场上销售一种易逝型商品，销售商的销售周期分为两个阶段：第一阶段为正常销售期，第二阶段为季末处理期。销售商第一阶段在市场上销售商品，到第二阶段再对剩下的商品进行降价处理。通常在正常销售期商品价格更高，但在季末处理期商品的价值会发生损失。一个典型的例子是衣服的销售，在正季销售期，衣服的价格更高，此时购买能够也能享受到更多的效用；而在换季处理期，虽然衣服的价格大幅度下降，但此时购买享受到的效用将降低。对于策略型消费者，会权衡不同阶段购买商品的支付和效用，选择使自己效用最大化的时点进行购买。传统的定价理论没有考虑到消费者的策略行为，销售商的决策过程为一规划问题。当考虑消费者的策略行为时，销售商和消费者实际在进行Stackelberg博弈，销售商此时的决策过程为一动态博弈问题。

1.1符号约定

文中将用到符号和变量如下：

—消费者对产品的估值或保留价值； —消费者在第二阶段购买产品时价值的折扣系数； —销售商的广告水平； —销售商的广告成本系数； —广告对消费者的影响系数； ， —第一阶段，第二阶段产品价格； ， —第一阶段，第二阶段产品需求； —产品单位成本； —销售商的总利润。

1.2模型假设

模型的假设如下：

（1）每个消费者在第一阶段购买产品的估值为 ，在第二阶段购买时估值为 ，且 。通常来说在第二阶段购买的产品价值会发生损失。

（2）消费者对产品的估值在 上均匀分布，即 。消费者的估值分布也可能为正态分布等其他分布，这里为简单起见处理为均匀分布，刘晓峰和黄沛[14]以及杨慧等[15]也采用了类似的假设。

（3）销售商进行广告的成本为 。这里借鉴了广告商誉模型[19]中关于广告成本函数的定义。广告成本和产出成二次函数关系，反应了边际回报随投入递减。

（4）消费者为风险中性。此假设表明消费者的效用函数为线性函数。消费者也可能风险厌恶或风险偏好，由于本文模型的复杂性仅考虑消费者为风险中性的情况。

为方便区分，用上标NA表示两阶段均不作广告的情况，用上标A1表示销售商在第一阶段进行广告宣传，上标A2表示销售商在第二阶段进行广告宣传。

2考虑策略性消费者的广告策略

实际中，消费者会对两阶段中产品的价值和价格进行综合权衡并做出选择，因而销售商在两阶段的市场需求不仅与本阶段产品价格有关，同时与两阶段产品的相对价格高低和消费者的选择行为有关。以下主要分析考虑消费者的策略性行为时，销售商的最优广告和定价策略。作为一种参考，首先分析销售商不做广告的情况。

2.1两阶段均不做广告（NA）

销售商在两阶段均不进行广告宣传，根据利润最大化的原则决定第一阶段产品价格 及第二阶段产品价格 。根据逆向归纳法，首先分析消费者的购买行为决策。消费者在第一阶段购买的净效用为 ，第二阶段购买的净效用为 。因而存在临界价值 ，当对商品的保留价值高于临界价值 时，消费者更愿意在第一阶段购买；当对商品的保留价值低于临界价值 时，消费者更愿意在第二阶段购买（此时还应满足消费者最低购买条件 ）。商品保留价值较高的消费者会在第一阶段购买商品，销售商第一阶段的需求 ；商品保留价值较低的消费者则会选择在第二阶段购买商品，企业第二阶段的需求 。企业的总利润函数为

（1）

命题1： 存在使销售商总利润最大的两阶段最优价格策略，且最优价格策略为

，

此时，销售商的最大利润为 。

证明： 根据一阶最优化条件 和 ，联立求解可得命题1中的结论。验证最优化问题（1）的海赛矩阵可得该矩阵为负定，因而命题1中的最优价格策略为使销售商总利润最大的最优策略。

2.2在第一阶段做广告（A1）

本节考察销售商在第一阶段进行广告宣传的情况，此时销售商有三个决策变量：第一阶段的广告水平 ，第一阶段产品价格 及第二阶段产品价格 。同样首先分析消费者的购买决策。

由于销售商在第一阶段进行广告营销，消费者在第一阶段购买的净效用为 ，第二阶段购买消费者净效用仍为 。因而存在临界价值 ，当 时，消费者更愿意在第一阶段购买；当 ，消费者更愿意在第二阶段购买（同样需满足 ）。

第一阶段和第二阶段的市场需求分别为 和 。企业的总利润函数为

（2）

命题2： 当 时，存在使销售商总利润最大的广告和价格策略，且最优广告和价格策略为

（3）

此时，企业的最优利润为

（4）

证明： 根据一阶条件 ， 及 联立求解可得命题2中销售商的最优广告和价格策略。此最优化问题（2）的海赛矩阵为

其中， ， ， 。因此，当且仅当 时，有 及 ，海赛矩阵负定，命题2中的最优广告和价格策略确为使销售商利润最大的策略。证毕。

命题2给出了当销售商在第一阶段进行广告宣传时的最优广告和价格策略。当广告对消费者的影响较大以及消费者对第二阶段产品期望较高时，销售商应当提高其广告投入。广告对消费者影响较大时，销售商可适当的提高广告投入以增大对消费者的影响。反之如果广告对消费者的影响较小，销售商此时投入较多的广告便是不明智的。

2.3在第二阶段做广告（A2）

本节考察销售商在第二阶段进行广告宣传的情况，此时销售商的三个决策变量变为：第一阶段产品价格 ，第二阶段产品价格 及第二阶段的广告水平 。首先分析消费者的购买决策。

消费者在第一阶段购买的净效用为 ，由于企业在第二阶段进行广告宣传，因而消费者在第二阶段购买的净效用为 。存在临界价值 ，与前两种情况类似，销售商在第一阶段和第二阶段的市场需求分别为 和 。销售商的总利润函数为

（5）

命题3： 当 时，存在使销售商总利润最大的广告和价格策略，且最优广告和价格策略为

（6）

此时企业的最优利润为

（7）

证明： 根据一阶条件 ， 及 联立求解可得命题3中销售商的最优广告和价格策略。考察最优化问题（5）的海赛矩阵

其中， ， ， 。因此，当且仅当 时，有 及 ，海赛矩阵负定，命题3中的最优广告和价格策略确为使销售商利润最大的策略。证毕。

3比较分析

第2部分中分析了销售商不做广告、在第一阶段广告及在第二阶段广告时，销售商的最优广告和定价策略以及销售商的最优利润。以下分别对各种模式下商品价格、广告水平、销售商广告水平及利润水平进行比较分析。

3.1价格的比较

命题4： 销售商在三种模式下，第一阶段价格有： ，第二阶段价格有 。

当销售商在第一阶段做广告时，新产品的价格会设置的较高，而第二阶段产品的价格和不做广告时价格一致；当销售商在第二阶段做广告时，新产品的价格与不做广告时一致，而销售商会将旧产品的价格设置的较低。

3.2广告的比较

命题5： 第一阶段做广告时销售商的广告水平高于第二阶段做广告时的广告水平。

证明： 两种模式下的广告有

当销售商在第一阶段做广告时，广告投入会比在第二阶段做广告时更高。销售商的产品销售主要集中在第一阶段，因此销售商在第一阶段做广告时投入更高，而由于第二阶段的需求相对较低，因而销售商在第二阶段做广告时投入较少。

3.3需求的比较

命题6：三种模式下， （1）销售商的总需求有： ；（2）第一阶段需求有： ；第二阶段需求有： ；（3）当 时， ，反之， ；当 时， ，反之， ；

从总需求上来说，销售商进行广告宣传并没有提高总需求，当在第二阶段做广告时还有所降低。此时销售商更多是通过广告来获取更高的边际利润。当销售商做广告时，第一阶段需求均高于不做广告时第一阶段的需求，第二阶段需求均低于第二阶段的需求。说明销售商不论在第一阶段做广告还是在第二阶段做广告都能提高第一阶段的需求，对于主要在第一阶段销售的销售商而言，这无疑是有利的。当广告影响系数较小时，在第一阶段做广告时第一阶段需求更高，而第二阶段需求较低；当广告影响系数较大时，在第二阶段做广告时第一阶段需求更高，而第二阶段需求更低。

3.4利润的比较

以下对各种模式下的利润情况进行比较分析，以得出销售商的最优广告模式。结论见命题7、命题8。

命题7：销售商做广告优于不做广告。

证明： ，根据命题2的证明可知 ，因此有 。又 ，由命题3的证明 ，因此有 。证毕。

命题7说明在最优化问题（2）和（5）存在最优策略的条件下，销售商无论是在第一阶段做广告还是第二阶段做广告均优于不做广告的情况。对于销售商而言，进行广告宣传对需求没有太大影响，但销售商能藉此获得更高的边际利润，因而能够提高其利润水平。同时广告能够对策略型消费者起到一定的影响作用，使其在销售商期望的阶段进行商品购买，降低消费者的策略性行为对销售商利润的影响。

命题8：（1）当 时，在广告影响系数较小时第一阶段做广告优于第二阶段做广告，在广告影响系数较大时第二阶段做广告优于第一阶段做广告；

（2）当 时，第一阶段做广告优于第二阶段做广告；

（3）当 时，在广告影响系数较大时第一阶段做广告优于第二阶段做广告，在广告影响系数较小时第二阶段做广告优于第一阶段做广告。

证明：

故有：（1）当 时， 时， ； 时， 。（2）当 时，有 。（3）当 时， 时， ； 时， 。证毕。

命题8表明：销售商应当根据具体情况在两阶段中选择一阶段进行广告宣传。在消费者折扣系数较大的条件下，广告影响系数较小时应当在第一阶段执行广告策略，而广告影响系数较大时应当在第二阶段执行广告策略；消费者折扣系数较小时与折扣系数较大的情况完全相反，销售商应当在广告影响系数较大时选择第二阶段进行广告宣传，广告影响系数较小时选择第一阶段进行广告宣传；而在消费者折扣系数适中的条件下，销售商应当选择第一阶段进行广告宣传。

存在策略型消费者时，销售商进行最优广告策略总是有利可图的。在不同条件下，销售商应当选取不同的广告策略。

4结论和展望

通过建立垄断型销售商与消费者之间的动态博弈模型，研究了面对策略型消费者时垄断型销售商的最优广告和定价策略。作为一种参考，首先分析了销售商不做广告时的两阶段定价策略，然后分别分析了销售商在第一阶段和第二阶段进行广告宣传时的最优广告和定价策略。对三种模式下销售商的价格、需求、广告投入及最优利润进行了比较分析，研究发现：（1）销售商做广告优于不做广告。不同情况下，应当采取不同的阶段进行广告宣传；（2）销售商的广告策略并不能提高两阶段的总需求，但能提高第一阶段的需求，使销售商的销售更加集中；（3）销售商在第一阶段做广告的投入高于第二阶段做广告的投入；（4）销售商在第一阶段做广告时会将两阶段的价格设置的较高，而在第二阶段做广告时会将两阶段的价格设置的较低；（5）三种模式下，销售商的产品销售均集中于第一阶段。

本文的后续研究可以从以下几个方面展开：（1）本文仅考虑了单个企业与消费者的博弈，可进一步研究具有多个企业竞争时的情况；（2）可考虑企业同时生产多种可替代产品的情况；（3）本文仅考虑了消费者为风险中性的情况，可推广到消费者为风险厌恶或风险偏好的情况。

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