不等式易错感悟

余欣

基本不等式是高中数学的重点内容，是高考的热点，常用来求与最值有关的问题. 我们由于对公式缺乏深刻的认识，在解题中屡屡出错. 现列举解题中的典型错误，以期对大家有所帮助.

忽略[a<0]

例1  解不等式[（x+1）（2-x）<0].

错解  因为方程[（x+1）（2-x）=0]的两根为[x1=-1，x2=2]，

所以不等式[（x+1）（2-x）<0]的解集为（-1，2）.

分析  此时[x]的系数为负数，运用公式出错.

正解  [x|x>2或x<-1]

感悟  必修五教材上解一元二次不等式的表格中，列出了不等式[ax2+bx+c<0（a>0）]在[Δ>0]即方程[ax2+bx+c=0]有不同两根[x1，x2]的情况下，不等式的解集是在两根之内，即[（x1，x2）.] 但[（x+1）（2-x）<0]类型的不等式，恰好隐蔽[a<0]，我们往往会因忽略[a<0]而出现上述解法错误. 而且我们常有先入为主[（a>0）]的定向思维，一看不等号方向是小于符号，会毫不犹豫地写出在两根之内的错误解集.

忽视定值

例2  已知[y=2x2+1][（x∈[1，+∞））]，求[y]的最小值.

错解  [y=2x2+1≥22x2?1=22x].

又[x∈][[1，+∞）]，所以[22x≥22].

从而[y]的最小值为[22].

分析  [y=2x2+1≥22x2?1=22x]中，[2x2?1]不是定值.

正解  如图，因为函数[y=2x2+1]在[x∈[1，+∞）]为单调增函数.

所以函数的最小值为3.

感悟  求和的最值，凑积为定值;求积的最值，凑和为定值.

忽视等号成立的条件

例3  已知[a>0，b>0，]且[a+b=1，]求[（a+1a）（b+1b）]的最小值.

错解1  因为[a>0，b>0，]

所以[（a+1a）（b+1b）≥][2a?1a.2b?1b=4].

错解2  [（a+1a）（b+1b）=ab+1ab+ab+ba]

[≥2ab?1ab+2ab?ba=4].

错解3  [（a+1a）（b+1b）=ab+1ab+ab+ba]

[=ab+2ab-2≥2ab?2ab-2=22-2].

分析  错解1和错解2利用了两次基本不等式，取等号的条件都是[a=b=1，]不可能成立. 错解3尽管只用了一次，但注意到取等号的条件是[ab=2]，也不能成立.

正解  依题意知，[ab≤（a+b2）2=14]，所以[ab∈（0，14]].

又[（a+1a）（b+1b）=ab+1ab+ab+ba=ab+2ab-2]，

参考函数[y=x+2x]，如图. 当[ab=14时]，有最小值[254].

例4  求函数[y=xa2-x20

错解  由[00，2（a-x）>0，]于是，

[y= x a2- x2  =12x a + x  （2a- 2x ）]

[≤12[x+ a+ x  + 2a- 2x 3]3=12a3.]

所以函数[y]的最大值是[12a3].

分析 上述解法中忽视了等号成立的条件. 事实上， 三个正数[x，a+x，2a-2x]不可能全相等， 所以解法是错误的.

正解 由[0< x< a]知， [00].

于是， [y2= x2a2-x22=12·2x2a2-x22]

[≤12[2x2+a2-x2 +a2-x23]3=427a6.]

又[y >0]， 所以[y≤239a3.]

当且仅当[2x2=a2-x2]，即[x= 33a]时，函数[y]有最大值[239a3.]

感悟  运用有关的定理性质、不等式放缩、同向不等式迭加时，要特别注意等号能否取得. 对例3中基本不等式利用一次、两次都不成立的问题可转化为形如函数[y=mx+nx（m，n>0）]的单调性问题. 利用函数的单调性构造不等关系时，要明确函数的单调性或单调区间及其定义域限制.

忽视正数

例5  求函数[y=x+4x]的值域.

错解  因为[x+4x≥2x?4x=4]（当且仅当[x=2]时取等号），所以值域为[4，+∞].

分析  运用公式时，缩小了参数的取值范围.

正解  （1）[当x>0时，x+4x≥2x?4x=4]（当且仅当[x=2]时取等号）.

（2）当[x<0时，-x>0.]而[（-x）+（-4x）≥2（-x）（-4x）=4]（当且仅当[x=-2]时取等号），

所以[x+4x≤-4].

综上，函数的值域是[（-∞，-4]?[4，+∞）].

感悟  使用[a+b≥2ab]时，注意条件：[a，b∈R+].

遗漏端点

例6  已知集合[A=x|x2-x-2≤0，][B=x|a

错解  [A=x|x2-x-2≤0=x|-1≤x≤2].

若使[A?B=?]，需满足[a>2或a+3<-1]，解得[a>2或a<-4].

所以实数[a]的取值范围是[a>2或a<-4].

分析  上面的解法错误原因在于忽视了集合[A=x|-1≤x≤2]的两个端点值-1和2，其实当[a=2]时，[B=x|2

正解  [A=x|x2-x-2≤0=x|-1≤x≤2].

若使[A?B=?]，需满足[a≥2或a+3≤-1]，解得[a≥2或a≤-4].

所以实数[a]的取值范围是[a≥2或a≤-4].

感悟  不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值，求解时需注意其是否能够取得.

随意消项

例7  解不等式[（x2-4x+4）（x2-4x+3）≥0].

错解  原不等式可化为[（x-2）2（x-1）（x-3）≥0].

[∵（x-2）2≥0，∴（x-1）（x-3）≥0].

所以[x≥3或x≤1].

所以原不等式的解集为[x|x≥3或x≤1].

分析  错解是由于随意消项造成的，事实上，当[（x-2）2=0]时，原不等式亦成立.

正解  原不等式可化为：[x≠2，（x-1）（x-3）≥0，]或[x=2]，

解得[x≥3或x≤1或x=2].

所以原不等式的解集为：[x|x≥3或x≤1或x=2].

感悟  解不等式时，要注意转化的等价性，防止出现增解或漏解.