巧用柯西不等式

2015-10-26邹同俭

高中生学习·高三版 2015年10期

关键词：柯西代数式方程组

邹同俭

求代数式的最值

例1 已知[x+2y+3z=1]，求[x2+y2+z2]的最小值.

分析这个题看起来与柯西不等式不沾边，但注意到求最小值且又有定值，可以尝试柯西不等式. 若构造[12+22+32?x2+y2+z2≥1?x+2?y+3?z2]，恰到好处.

解 [∵12+22+32?x2+y2+z2≥1?x+2?y+3?z2][=1，]

[∴][x2+y2+z2≥114，]当且仅当[x1=y2=z3]且[x+2y+3z=1，]即[x=114，y=17，z=314]时，[x2+y2+z2]取得最小值[114].

点拨此题巧妙凑配出柯西不等式的结构形式是解题的关键和亮点.

例2 如图，已知[△ABC]是等腰直角三角形，[CA=1，]点[P]是[△ABC]内一点，过点[P]引三边的平行线，与各边围成以[P]为顶点的三个三角形（图中阴影部分）.当点[P]在[△ABC]内运动时，以[P]为顶点的三个三角形的面积和的最小值为 .

分析题目中隐含了三个三角形边长之和为1这个条件，若分别设为[a，b，c.]而以[P]为顶点的三个三角形的面积和为[12a2+12b2+12c2=12（a2+b2+c2）]，则只需求出[a2+b2+c2]的最小值. 具有运用柯西不等式解题的可能性.

解设三个阴影三角形的边长分别为[a，b，c，]则它们的面积分别为[12a2，12b2，12c2，]并且[a+b+c=1]. 由柯西不等式得，[（a2+b2+c2）（12+12+12）≥（a+b+c）2=1]，所以[a2+b2+c2≥13]，故以[P]为顶点的三个三角形的面积和的最小值为[16]. 当且仅当[a=b=c=13]取得最小值.

点拨本题具有一定的综合性，要求我们读懂题，思考要有深度，要能够挖出隐含条件，合理转化. 运用柯西不等式解题需要注意：是否有定值，最大值（最小值）以及取得最值的条件（等号是否成立）.

证明不等式

例3 设[a，b，c]为正数，且不全相等，求证：[2a+b+2b+c+2c+a>9a+b+c].

分析 [2a+b+2b+c+2c+a>9a+b+c]等价于[（a+b+c）（2a+b+2b+c+2c+a）>9，]而[9=32=（1+1+1）2，][（a+b+c）（2a+b+2b+c+2c+a）=[（a+b）+（b+c）+（c+a）]?（1a+b][+1b+c][+1c+a）.] 这样就可以运用柯西不等式来证明了.

证明 [∵（a+b+c）（2a+b+2b+c+2c+a）]

[=2（a+b+c）?（1a+b+1b+c+1c+a）]

[=[（a+b）+（b+c）+（c+a）]?[1a+b+1b+c+1c+a]]

[=[（a+b）2+（b+c）2+（c+a）2]?[（1a+b）2+（1b+c）2]

[+（1c+a）2]]

[≥[a+b?1a+b+b+c?1b+c+c+a?1c+a]2] [=32=9]，

又[a，b，c]为正数，且不全相等，所以等号不成立.

所以[2a+b+2b+c+2c+a>9a+b+c].

点拨原题的形式不具有柯西不等式的特征，但是等价转化后，有“柳暗花明”之感.

解方程或方程组

例4 解方程组[x2+y2+z2=2，3x+4y-5z=10.]

分析三元二次方程组，按照常规看，似乎少了一个方程，但运用柯西不等式可以神奇解决.