一根多变 融会贯通

何勇波

课本题根  （高中A版选修1-1第99页B组习题第（3）题）当[x>-1]时，不等式[ex≥1+x]成立，当[x=0]时，等号成立.

题根应用  [ex≥1+x]①.

例1  已知函数[f（x）=（1+x）e-2x]，当[x∈0，1]时，求证：[f（x）≥1-x].

证明  因为[ex≥1+x]，所以[f（x）=（1+x）e-2x>（1+x）][（1-2x）=1-x-2x2≥1-x]. 即[f（x）≥1-x]成立.

例2  已知[f（x）=（1-x）ex-1].

（1）求证：当[x>0]时，[f（x）<0];

（2）数列[xn]满足[xnexn+1=exn-1]，[x1=1]，求证：数列[xn]递减且[xn>12n].

证明  （1）略.

（2）由[xnexn+1=exn-1]得，[exn+1=exn-1xn].由①得，[exn+1=exn-1xn>xn+1-1xn=1]，所以[xn+1>0]，即[xn>0].由（1）知[f（xn）<0]，即[（1-xn）exn-1<0]，[exn-112n]的过程略）

例3  设函数[f（x）=ex-e-x].

（1）证明：[f（x）]的导函数[f（x）≥2];

（2）若对所有[x≥0]都有[f（x）≥ax]，求[a]的范围.

解析  （1）略.

（2）要使[f（x）≥ax]，即[ex-e-x≥ax]恒成立，根据①得，[ex-e-x≥1+x-11+x=x2+2x1+x]，只需[x2+2x1+x≥ax]，即[a≤x+21+x=1+11+x]. 令[g（x）=1+11+x]，易知，当[x≥0]时，[f（x）]单调递减，故[g（x）=1+11+x]的最大值是[g（0）=2]，[a]的范围是[a≥2].

点拨  以上三个例子是题根不等式的直接应用，其作用就是将证明以底数的指数式转化为一次函数的问题. 例1中，其标准答案的解法是：先移项，然后构造函数，再求导数，根据导数判断函数的单调性，最后利用函数的单调性证明该不等式. 本题直接利用题根不等式和不等式的性质通过适当缩小就可以证明原题，过程简单明了. 例2中，其标准答案的解法是：利用数学归纳法，步骤呆板僵化，过程冗长，利用课本题根解答则简洁明快，容易理解. 例3是恒成立问题，解题的过程通常是移项构造函数，再根据导数的正负情况判断函数的单调性，将恒成立问题转化为求函数的最大值问题.

题根变式1  在题根中，令[t=1+x，]可得[t-1≥lnt，][t>0]②.

例4  设函数[f（x）=ln（1+x），][g（x）=xf（x），][x≥0，]其中[f（x）]是[f（x）]导函数.已知[f（x）≥ag（x）]恒成立，求实数[a]的取值范围.

解析  要使[f（x）≥ag（x）]，即[ln（1+x）≥ax1+x]恒成立，分离参数得：[a≤（1+x）ln（1+x）x]恒成立. 根据②有[（1+x）ln（1+x）x≤（1+x）xx=1+x]. 只需使[a≤1+x]恒成立.当[x≥0]时，[1+x]的最小值是1，因此，[a]的取值范围是[a≤1].

例5  已知函数[f（x）=ex-ln（x+m）]， 当m≤2时，证明：f（x）>0.

证明  要使f（x）>0恒成立，即[ex-ln（x+m）][>0]，即[ex>ln（x+m）]（*）恒成立. 根据题根和②式有，[ex≥1+x，]当[x=0]时，等号成立;而[ln（x+m）≤x+m-1，]当[x+m=1]时，等号成立. 等号不能同时成立，因此[ex≠ln（x+m）]. 于是要使（*）恒成立，只需[1+x≥x+m-1]，即m≤2.

点拨  题根变式1的作用就是将含自然对数的函数放大为一次函数，再将原问题转化为求一次函数的最小值问题. 例4是恒成立问题，使用题根不等式的变式1只需要先分离参数，再求出一次函数[y=1+x]当[x≥0]时的最小值就可以了，避免了对参数进行分类讨论. 例5是2013年高考理科Ⅱ卷的压轴题，按标准答案解题，需要对参数进行讨论;而运用题根及其变式1，把含指数和对数的问题转化为比较两个一次函数的大小问题，过程十分简洁，同时也避免了对参数的讨论.

题根变式2  在题根中，令[x=1k]（[k≠0]），得到[1k>ln1+1k]，即[ln（k+1）-lnk<1k]③.还可以得到[kln1+1k<1]，即[1+1kk

例6  已知函数[f（x）=][2aln（1+x）-x][（a>0）]. 求证：[4lge+lge2+lge3+…+lgen>lge（1+n）nnn（n+1）（n∈N*）].

分析  要证原不等式成立，只需证[4+12+13+…][+1n>lge（1+n）nnn（n+1）lge，]即证[4+12+13+…+1n>lne（n+1）nnn+][ln（n+1）]，即证[4+12+13+…+1n][>ln（n+1）+1+1nn].在不等式③中分别令[k=1，2，][…，n]得，[ln2-ln1<1]，[ln3-ln2<12]，…，[ln（n+1）][-lnn<1n]，将以上各不等式的左右两边分别相加得，[1+12+13+…+1n>ln（n+1）]. 根据④可得，[3>e>1+1kk].

证明  在不等式③中分别令[k=1，2，][…，n]得，[ln2-ln1<1]，[ln3-ln2<12]，…，[ln（n+1）-lnn][<1n]，将以上各不等式的左右两边分别相加得，[1+12+13+…+][1n>ln（n+1）].

根据④可得，[3>e>][1+1kk].

[∴4+12+13+…+1n>ln（n+1）+1+1nn，]

[∴4+12+13+…+1n>lne（n+1）nnn+ln（n+1），]

[∴4+12+13+…+1n>lge（1+n）nnn（n+1）lge，]

即不等式[4lge+lge2+lge3+…+lgen>lge（1+n）nnn（n+1）]成立.

点拨  题根变式2是联系指数式与自然对数式的桥梁. 本题的标准答案是利用数学归纳法证题，步骤呆板，过程复杂，难以理解;但利用题根变式2，短短几行就可以说明问题.

题根变式3  由①得[1+xex≤1]，当[x>0]时，有[0<1+xex<1]⑤.

例7  已知函数[f（x）=lnx+kex]（[k]为常数，[e=]2.71828…是自然对数的底数），曲线[y=f（x）]在点[1，f（1）]处的切线与[x]轴平行. 设[g（x）=（x2+x）f（x）]，其中[f（x）]是[f（x）]的导函数. 证明：对任意[x>0，][g（x）<1+e-2].

分析  由题意可得[g（x）=（x+1）ex（1-x-xlnx）]. 由⑤得，[g（x）<1-x-xlnx]，要证明原不等式成立，只需证明[1-x-xlnx<1+e-2].

证明  由题意可得，[g（x）=（x+1）ex（1-x-xlnx）].令[h（x）][=1-x-xlnx，]则[h（x）=-2-lnx.] 所以，当[-2-lnx>0]时，即[00，h（x）]是增函数;当[x>e-2]时，[h（x）<0，h（x）]是减函数. 因此，当[x=e-2]时，[h（x）=1-x][-xlnx]有最大值[he-2=1-e-2-e-2lne-2=][1+e-2，]即[1-x][-xlnx≤1+e-2.]  则[g（x）=（x+1）ex（1-x-xlnx）<][（x+1）e2（1+e-2）.]由⑤得，[（x+1）e2（1+e2）<1+e-2，]即[g（x）<1+e-2]成立.

点拨  本题直接利用题根变式3就可以证明[g（x）<1+e-2]. 避免构造函数，通过求导判断函数的单调性来证题，简化了证题过程.