基于间隔导频的最优迭代频偏估计算法

焦 玲，蒋 磊，许 华，贾航川

（1.空军工程大学信息与导航学院，陕西西安710077；2.解放军94162部队，陕西西安710614）

基于间隔导频的最优迭代频偏估计算法

焦 玲1，蒋 磊1，许 华1，贾航川2

（1.空军工程大学信息与导航学院，陕西西安710077；2.解放军94162部队，陕西西安710614）

针对利用间隔导频进行载波频偏估计存在精度高但估计范围小的问题，提出了基于间隔导频的最优迭代频偏估计算法。该算法在迭代过程中通过计算更新迭代权重因子，对每次相位展开后的次优估值进行修正。基于本算法推导出综合考虑估计精度和信噪比阈值的导频设计参考式，为宽带短波系统快速准确同步参数提供帧格式设计参考依据。仿真结果表明，本算法较差分相位法有更大的估计范围，且估计精度高。

间隔导频；频偏估计；相位展开；最优化迭代；估计范围

0 引言

载波频偏估计是宽带短波信号接收处理中的关键技术之一［1-2］，收发端大的多普勒频偏会严重影响解调性能，因此要求估计算法有较大的频偏估计范围和更高的估计精度。宽带短波体制下用户能自定义设置信号帧格式中的导频结构，从而可灵活地运用导频辅助估计。

近年来，F.Rice［3］通过推导得出利用间隔导频估计频偏能有效提高估计精度，得到学者们关注。文献［4—6］提出一些基于间隔导频辅助的频偏估计算法，其中L.Giugno［4］对各导频块符号进行差分相位得出频偏估计值，复杂度低但由于没有解决相位模糊问题导致估计范围不大；孙锦华［5］等人提出导频间距可变的数据帧结构，通过求自相关和函数，提高算法抗噪性，但估计范围受到很大限制；朱刚勇［6］等人在分析导频位置对估计范围影响的基础上，提出一种新的最大似然频偏估计方法，估计精度进一步提高，但代价是估计范围减小。本文针对上述问题，提出了基于间隔导频的最优迭代频偏估计算法。

1 信号模型

本文首先给出宽带短波系统中可等效为周期等间隔导频的信号帧格式示意图。假设一段数据帧中等间隔放置P段导频块，每段导频块符号连续且长度为L，导频块之间的间隔也就是符号可变的未知数据段的长度为M，当只取一段导频与跟随其后的数据块组合可看成目前通信系统中的连续导频结构。

考虑宽带短波系统中PSK调制信号，为简化方法，对信号能量归一化为Es=1。假设对接收信号进行同步采样后得：

式中：Sk为发送序列，包括导频和未知数据为待估载波频率，fc为真实载波频率，定义Δf=—fc为频偏值；Φ为载波初相位；n（kTs）为功率谱密度为N0/2，实部与虚部相互独立的复高斯白噪声；Ts为码元周期，且fc≪1/Ts。

由于导频序列已知，对导频位置的接收信号进行去调制可得：

其中，u（kTs）是基于统计量等价于n（kTs）的相位噪声项。此时，载波频偏值估计可看成被白噪声污染的正弦信号频率估计。由于本文中只考虑导频序列对频偏估计的作用，因此定义k为所有导频符号的下标集合：

在一定信噪比条件下，连续导频结构和周期等间隔导频结构下同步参数估计的CRB界分别为［7］：

CRB界是估计算法的精度下界，导频结构决定了估计算法的同步范围。比较两式，可得等间隔导频结构是连续导频结构一种推广，P=1时，式（5）即变为式（4）；当M=0时，可得增加连续导频序列的长度P可以提高估计精度。从式（5）我们还可以看出，对于间隔离散导频，估计性能可以通过增加导频块序列长度和导频块个数，以及离散导频块之间的距离而显著提高，但付出的代价是大大缩小了估计范围，这也是上节所提文献中基于间隔导频进行频偏估计算法研究中的限制。

2 基于间隔导频的频偏估计方法

2.1 传统估计方法及问题分析

在文献［4—5］中，对间隔导频的频偏估计都进行了对信号自相关函数取辐角运算，其本质基于经典的Kay算法［8］。取辐角函数是一个多值函数，但通常将值限定在主值区间（—π，π）内。在同一导频块内，利用信号时延自相关求频偏值可表示为：式中Δfˆ为估计频偏值，υ的取值使真实频偏值落在辐角主值区间内。在没有任何先验条件下我们通常认为υ=0，只考虑相位噪声产生的估计误差，则可以得出利用时延越长的自相关函数，相位噪声的影响越小，估计精度越高。对于间隔导频，充分利用高时延自相关值，将式（6）推广至不同的导频块之间，对导频块边缘符号值进行间隔为M的自相关取辐角运算，可表示为：

2.2 一种新的相位展开迭代估计算法

在解决连续导频辅助估计的范围受限问题时，一方面是采用先在宽范围内粗估计然后利用传统方法进行细估计；另一方面是在原算法上直接改进，如M&M算法，在具有较宽估计范围的Kay算法基础上引入长时延自相关函数，隐含了相位展开，对不同时延自相关函数加权平均后提高估计精度。本文将基于自相关函数算法，提出将间隔自相关进行相位展开，用一种新迭代算法对频偏进行估计。

为解决传统算法中估计范围受限问题，本文先将所有导频块符号进行时延为m的相关求和，表示为［8］：

将式（2）代入式（8）可得：

考虑SNR≫1，忽略最后一个噪声项，令加式中的第二项为：

则由文献［9］可得，

根据上节分析，对辐角主值进行相位补偿，以自相关时延m为参数的频偏估计表达式如下：

从上式可看出，解决相位折叠要分析如何选取υ使估计值与真实值最相近。文献［10］提供了一种利用取整函数确定υ的方法，对于越小的时延，这种相位展开的补偿效果越精确。为了提高估计精度，从上节分析可知应该尽可能地对多个自相关时延进行估计。由于对自相关函数取辐角加权运算是非线性的，难以直接进行估计运算，因此，本文引入最优化迭代处理思想，采用一种新的基于时延间隔m的迭代算法进行频偏估计，时延为m+1的迭代估计值经过对时延为m的估计值修正得出，充分利用导频块符号中每个时延量估计结果以获得更好的性能。算法描述如下：

定义一组导频符号的自相关时延量的集合为：

初次估计时令m1=1，ν=0，代入式（10）得到估计表达式为：

其中，定义Δfd为采取迭代运算所得频偏估计值。该式说明真实值与取辐角估测值之间存在与前后估测项没有关系的符合高斯分布的白噪声偏差。本文取包含同组导频段和相邻导频段的时延量进行自相关，即=2L+M，则有：

当miϵ（1，L—1］时，

当miϵ（M+L，M+L］时，

当miϵ（M+L，M+2L］时，

接下来采用最优化迭代估计，在第mi+1次迭代运算时假设已知mi次迭代后的最优估计值Δfd（mi），计算式（10）得到本次次优估计值（mi+1），然后分析两者的协方差计算最优的迭代权重因子，得出一个修正值对次优值进行优化，结果便是本次迭代的最优估计值。迭代表达式如下：

以上算法引入了最优化迭代处理思想，式（15）为迭代修正值。经过次迭代后，得出最终结果。基于以上分析，算法具体步骤可总结如下：

1）对所有导频块的接收信号进行相关去调制得到z（k）；

2）令i=1，计算式（10）得频偏初始值Δfd（1）=（1）；

3）令i=i+1，计算式（10）（15），所得结果代入（14）式计算迭代值；

2.3 间隔导频结构估计性能

式（4）、式（5）给出了间隔导频结构下同步参数估计的CRB界，即估计算法的精度下界，它是度量一个算法估计性能的理论界。信噪比阈值则反映了当低于此限定值时，算法估计精度偏离理论界导致估计性能下降。错误估计是频偏估计性能下降的主要原因［6］，因此可以通过计算错误估计概率分析信噪比阈值和估计精度的变化。本节将针对提出的算法推导出错误估计概率，并进一步分析导频结构对性能的影响。本算法中错误估计的产生来源于第mi+1次估计中，由式（10）计算出的相位观测值2π（mi）Tsmi+1落在前一次迭代估计值2πΔfd（mi）mi+1旁的±π范围之外。因此错误估计概率可表示为：

由此我们讨论估计性能，基于本算法采用了同段和相邻导频段的时延自相关进行最优化迭代，观察公式（11）（12），可通过计算相位折叠严重而导致误差相对较大的间隔为mi+1=M+1和mi=L—1时的估计误差来作近似分析。令

由式（9）、（10）代入计算得条件错误估计概率近似为：

图2 导频结构对错误估计的影响Fig.2 Relation between estimation error variance and pilot structures

我们已知道导频序列长度能显著影响估计性能，同样导频间距也是影响频偏估计范围和精度的重要因素，本节通过分析推导得出一个综合权衡各方面使性能尽可能优化的间隔范围界值，为后续研究提供参考。

3 仿真与分析

本节采用高斯白噪声叠加QPSK信号对本算法的估计性能进行仿真分析。图3在不同输入信噪比情况下，将基于间隔导频的本算法与差分相位法、最大似然估计法以及估计范围较大的基于连续导频的Kay算法的载波频偏估计性能进行比较，并给出了对应的克拉美罗界。其中参数设置为频偏值ΔfTs=0.1，L=16，M=5L，P=4，相应的设置连续导频长度为P×L=64，以对比分析相同导频长度下连续与间隔导频结构的性能差异。从图中可以得出，相比于连续导频，间隔导频具有更高的估计精度，且由图4仿真结果可知通过相位展开能获得更宽的估计范围；基于间隔导频的ML频偏估计由于估计范围受到限制，错误估计概率大大增加，不能接近性能下界；差分相位法基于Kay算法原理隐含了相位展开，和本算法在信噪比较高时，能很好地接近克拉美罗界，而后者由于引入了高延时自相关量，比前者有更低的信噪比门限，且在信噪比较低时，估计误差也比差分相位法要低，同时从图4可得，经过最优化迭代处理，频偏估计范围也较前者进一步扩大，因此，估计性能优于差分相位法。

图5和图6给出了不同的导频结构下本算法的估计均方误差曲线以及对应的CRB。其中图5的不同曲线代表不同的导频段序列长度，导频间距与导频长度比值不变，图6则给出了导频段序列长度固定而导频间距变化时的仿真结果。如上节分析，仿真得出的估计均方误差随着导频段序列长度L的增加而降低，信噪比阈值也减小；当导频间隔M增大，虽然在高信噪比时估计均方误差及CRB界有所降低，但信噪比阈值却大大增加，估计性能随着信噪比降低迅速恶化，这是由于导频间隔的变长会大大增加错误估计概率造成的。最后图7通过仿真得出错误估计概率曲线，进一步对图5、图6和式（17）进行了解释和验证，当L增加时，错误估计概率越小，估计精度越高，信噪比阈值也下降；当M增加时，错误估计概率大大增加，算法的估计性能下降。

图3 几种算法估计性能比较Fig.3 The performance of the new estimator compared to other estimators

图4 频偏估计范围比较Fig.4 The operating range of the new estimator compared to other estimators

图5 不同导频结构的估计性能比较Fig.5 The performance of estimator for different pilot structures

图6 不同导频结构的估计性能比较Fig.6 The performance of estimator for different pilot structures

图7 不同导频结构的错误估计概率Fig.7 The estimator error probability for different pilot structures

4 结论

本文提出了基于间隔导频的最优迭代频偏估计算法。该算法将时延间隔自相关算法进行相位展开，采用一种最优化迭代处理对频偏进行快速估计，迭代过程中通过计算更新迭代权重因子，对每次相位展开后的次优估值进行修正，有效地解决了相位折叠问题。仿真结果表明，该算法估计精度高，较之前的差分相位法有更宽的估计范围。本文推导得出错误估计概率与结构设置相关，并由此分析结构设置对估计误差的影响，得出一个综合考虑估计精度和信噪比阈值的设计参考值，为宽带短波系统快速准确同步参数提供了一个帧格式设计参考依据。

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Optimal Iteration Frequency Offset Estimation Based on Spaced-embedded Pilot

JIAO Ling1，JIANG Lei1，XU Hua1，JIA Hangchuan2
（1.Information and Navigation College，Air Force Engineering University，Xi’an 710077，China；2.Unit 94162 of PLA，Xi’an 710614，China）

In order to solve the problems of limited operating rangein carrier frequency synchronization based on spaced-embedded pilot，a novel estimation algorithm using optimal iteration was proposed.The approach could compute and update the iterative weighting factor，which was used to correct sub-optimal estimation.Phase unwrapping was applied to yield a larger estimation range for each iteration.A pilot design reference was acquired with considering the estimation accuracy and signal-to-noise ratio threshold.The simulation results were presented to substantiate the performance of the modified algorithm.It was exhibited that the algorithm had wider operating ranges compared with differential phase algorithms，while maintaining high accuracy.

spaced-embedded pilot；frequency offset estimation；phase unwrapping；optimal iteration；estimation range

TN911.7

A

1008-1194（2015）05-0079-04

2015-05-11

国家自然科学基金项目资助（61001111）

焦玲（1991—），女，江西上饶人，硕士研究生，研究方向：电子对抗。E-mail：thelevelplain@sina.cn。