化归思想在数学教学中的应用

化归是数学活动中一种最基本、而又具有普遍应用性的数学思想方法。化归内涵的核心就是“求变”，通过“求变”实现问题有效转化。本文通过对五种常用化归方法的分析，揭示化归方法在数学活动中的普遍应用性。

思想方法  化归  转化  数学活动

数学从哲学中派生出来，成为最具有方法论价值的基础性工具性学科。[1]在数学方法论中，数学思想是指向个体内部的观念，是数学知识与方法在更高层次上抽象与概括而成的数学观点;数学方法则指向个体外部的操作，是数学思想的具体化与程序化。在数学活动中，数学思想与方法总是交融交织的。因此，常常不加区别地将它们统称为数学思想方法。就数学思想方法的应用而言，化归是一种最基本、而又具有普遍应用性的思想方法。

一、化归思想方法原理分析

1.化归的内涵

化归，即转化与归结的科学概括，实现问题由未知到已知，由难到易，由复杂到简单的转化并解决。

从方法论的角度讲，化归是使原问题归结为我们熟知的或简单的、直观的问题，它着眼于通过求变实现转化;从认识论的角度讲，化归是用一种事物的普遍联系与矛盾转化的观点来认识问题，它着眼于揭示联系实现转化。因此，化归内涵的核心就是“求变”，通过求变，实现方法创新、思维突破。

2.化归的模式

运用化归方法解决问题的过程，可以归结为：先通过某种途径，将原问题转化为一个有成熟解决方案的问题*，然后通过对问题*的求解，得到原问题的解答。化归的一般模式如图1所示。

3.化归的原则

化归的目的在于实现问题的有效解决。化归应当遵循以下三个原则。第一，熟知性原则，即将生疏问题转化为熟悉而熟知的问题。第二，简单性原则，即将复杂问题转化为简单而容易的问题。第三，直观性原则，即将抽象问题转化为具体而形象的问题。

总之，化归需要以已有的知识、经验、方法作为基础与引领。

二、化归与数学活动

客观事物是普遍联系的，而矛盾是对立统一而又相互转化的，这为化归方法提供了哲学基础。[2]数学内部之间的逻辑联系、数学与客观世界之间的联系、以及方法与方法之间的联系等，为数学化归提供了可能性。因此，数学学科的特点及其哲学基础，使得化归成为数学活动中最基本而又具有普通应用性的方法。

数学严密的逻辑性，存在着大量的演绎论证。而演绎论证则是将原问题归结到某些已知定理（公理）上去，实质上是一种化归过程;数学高度的抽象性，具有形式化、符号化、模式化的特征，正是这些特征为化归方法提供了便利条件;数学具有广泛的应用性，在解决问题时，先是将其数学化、抽象化，创造出具有表现力的数学语言——数学模型，通过模型建立未知与已知之间的内在联系，从这种联系中规划解决问题的思路，是化归思想的具体应用。

数学活动中，大量运用观察与联想、归纳与类比、分析与综合等科学方法，是人们探索数学规律、寻求问题解决途径的重要方法。通过观察与联想，可以提出猜测、寻求原问题与熟知问题的内在联系，为问题转化提供思路;通过归纳与类比，可以探索化归的方向，为问题转化提供目标;通过分析与综合，可以从本质上、从量与质两个方面把握问题的内涵与外延，可以探求化归的数学模式，为问题解决找到有效途径。

三、数学教学中几种常用的化归方法

1.变换法

数学活动中，变换法是较为常见的、实现由未知（难、复杂）向已知（易、简单）的化归。常见的变换方法有：变式、变形、变条件、变结论等;有恒等变换、参数变换、坐标变换、几何变换等等。

例如，参数变换法通过引入参数（换元）常常可以改变问题的外部形式与内部结构，把代数问题转化为几何或三角问题，把几何问题转化为代数问题或三角问题等，因而适用于数学各分支学科。[3]变换化这种思维方式在数学活动中是十分典型的。

2.特殊化与一般化方法

由特殊到一般，由一般到特殊，即由具体到抽象，由抽象到具体，它们相互制约，互为补充，是化归的一种具体方法。[4]数学中，经常使用的归纳法与演绎法就是特殊化与一般化思想的集中体现。

（1）从一般到特殊：特殊化

特殊化，即将所讨论的数学问题“退”到属于它的特殊状态（数量或位置关系、原始状态或最简单）下进行研究，从特殊状态下获得启发，从特例中抽象归纳出共性，从而获得一般情形的解决途径。

面对某个一般性数学问题，如果直面难以解决，则可先退一步，解决其特殊情况。特殊情形往往简单、直观，并为我们所熟知，通过特例，可以给抽象的命题赋予具体内容和现实意义。然后通过对特例的考察为由特殊到一般的抽象提供必要的素材，将解决特殊情况的方法或结论推广到一般问题上，从而获得一般性问题的解答。最后，必要时还需借助新的特例来对获得的一般性结论进行验证。因此，特殊化的功能在于由随意的特殊化，去了解问题;由系统的特殊化，为一般化提供基础;由巧妙的特殊化，去对一般性结论进行检验。[5]

数学中，特殊化可以将抽象的数学符号与形式化表达式具体化、数量化，也可以就“极端”情形进行考虑，还包括作出具体的图形等。

例如，探求n边形内角和时，将其转化为三角形便可轻易归纳出结论。这正是特殊化化归的具体应用。

（2）从特殊到一般：一般化

一般化，即将所讨论的问题，放在更广泛、更一般的状态下进行考察，先得出一般性的结论与处理方法。然后再把一般性结论或方法具体化到原问题上，从而实现问题解决。同时，也只有上升到一般的高度，才能更好引领人们深刻认识和理解各个特例。考察问题时，有时“跳”出具体对象，寻求普遍性规律，反而能更快地解决问题。[6]

数学活动中，经常通过改变或弱化条件、用变量代替常量等来获得更为一般的结论。数学是追求一般性的科学，正如法国数学家波莱尔指出的：知道13=1，13+23=9，13+23+33=36，这不是数学。你必须知道：13+23+…+n3=（1+2+…+n）2，这才是数学[7]。

3.RMI方法

RMI方法，即关系（relationship）、映射（mapping）、反演（inversion）方法的简称，是由我国的徐利治教授首先提出的。

RMI方法的基本思想是：为了确定关系结构S中的某一个未知性状的对象x（称为目标原象），去寻求一个可逆映射？渍：S→S*，在S*中通过有限多步的数学手续将映象x*=？渍（x）（称为目标映象）唯一地确定下来，然后再通过逆映射？渍-1求得S中的目标原象x=？渍-1（x*）（称为反演）。这个可逆映射？渍称为可定映映射;确定目标映象x*？渍=？渍（x）称为定映;将彼此之间具有某种或某些数学关系的数学对象的集合称为关系结构（如图2所示）。

其过程可以概括为以下四个步骤：关系——映射——定影——反演（得解）

这种可逆映射具有确定的对应关系，能够确保由此所获得的结论的准确性和可靠性。RMI方法是在现代数学研究中实现化归的一种重要方法，与一般的化归方法相比达到了更高的抽象程度[4]，是一种高层次的数学思想方法。能否巧妙地引进恰当的映射，是运用RMI方法解决问题的关键所在。

（1）数学中常用的换元法、解析法、初等变换法、三角法、复数法、图解法、构造法、母函数法等具体方法，本质上都是RMI方法在不同层次上的应用[8]。

（2）RMI方法是集合论的一个基本方法，而集合论的基本概念成为全部数学的基础。

（3）“数学模型”方法是RMI方法的具体应用。经抽象化、数学化得到数学模型的数学抽象便可以理解为一种映射，把数学模型的有关结论回归现实，给出实际问题的解答，可以理解为一个反演。

（4）RMI方法不仅可以得出问题肯定性解答，而且还可以得出问题否定性解答。例如，历史上几何三大难题（圆化方问题、倍立方问题、三等分任意角问题）不可解性的证明可以看成应用RMI方法得出问题否定性解答的实例[5]。

（5）中学数学中常用的RMI化归方法有以下三种。

第一，对数计算方法。通过对数映射在正实数集R+与实数R这两个代数结构之间建立起对应关系。对数运算是一种降级运算，这样通过对数映射实现由复杂运算向简单运算的化归。

第二，解析几何方法。解析几何的创立是RMI方法的一次成功应用。通过引进适当的直角坐标系，在曲线与方程之间建立对应关系。先把几何问题映射成代数问题，用代数方法处理;再把所得的代数结果翻译回去，变成几何问题所需的答案。建立适当的坐标系就是选择一种映射，去实现平面几何向代数的化归。

第三，直角坐标平面到复数集上的映射。映射？渍：（a，b）？葑a+bi，将直角坐标平面变成复平面。实现几何问题与复数问题的互化。

4.分割法

分割法就是把一个问题分割成几个简单的问题加以考虑，这样便于深入内部，弄清本质。当然，分割与组合总是相辅相成的。对问题分割求解时，要注意分割的几个问题必须满足互斥、不遗漏。分割法在数学活动中大量存在。例如，用待定系数法把有理函数分成部分分式之和就是分割法的一个具体应用。

5.反证法

反证法的逻辑原理是：A→B？圳A∧B→P∧P’，这里P’与P是两个矛盾或对立命题。即要证明命题A→B，只须从否定该命题的结论A∧B出发，去实现命题A→B到命题A∧B→P∧P’的转化，推出一个逻辑矛盾（另一个已知真命题、或A的矛盾、或自相矛盾）结论，从而确立A→B的正确性。

可以看出，反证法实现问题解决的手段是否定原命题的结论，将其转化为一个新命题。这样，往往可以改变研究问题的视角，不仅能使论证目标更为简单明确。另外，由于否定结论将其转化为推理前提，实现结论向条件的转化，更加拓展了论证思路。因此，反证法显然隶属于化归法的范畴[9]。其结构如图3所示。

数学思想方法是数学知识的灵魂与精髓，但又是隐藏在数学知识内部的内隐性知识，它是数学教学活动中最富创造力、最为生动的元素。教学中，作为教育形态的数学思想方法，需要教师对附着在教学材料深处的数学思想方法进行充分的挖掘、提炼、概括，并将其渗透在教学过程中，作有意识、有计划的揭示。

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参考文献

[1]  吴增生.数学思想方法及其教学策略初探[J].数学教育学报，2014（6）.

[2]  钱珮玲.数学思想方法与中学数学[M].北京：北京师范大学出版社，2008.

[3] 李玉琪.化归原则及其分类[J].数学通报，1990（7）

[4] 章士藻等.数学方法论简明教程[M].南京：南京大学出版社，2008.

[5] 郑毓信.数学方法论[M].广西：广西教育出版社，1996.

[6] 杨永平.运用化归思想，探索解题途径[J].数学通报，1994（8）

[7] 黄晓学等.关于高师数学方法论中“特殊化与一般化”一则内容的教学设计[J].徐州师范大学学报：自然科学版，1998（9）.

[8] 莫正芳等.高等数学思想方法的特征[J].长春师范学院学报：自然科学版，2006（8）.

[9] 李玉琪.反证法的逻辑原理与思想方法[J].曲阜师范大学学报：自然科学版，1989（10）.

[作者：胡先富（1964-），男，重庆人，重庆城市管理职业学院电子工程学院教授，硕士。]

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