把握命题规律 重视复习效度

桂芳

2015年高考是广西进入新课程改革以来的首届高考，相比去年所使用的全国大纲版考卷，今年所使用的新课标全国Ⅱ卷数学试题在结构、内容、立意方面都有不同程度的改变和创新.

一、2015年高考新课标全国Ⅱ卷数学试题分析

2015年高考新课标全国Ⅱ卷数学试题沿袭了2007年以来高考新课标全国Ⅱ卷的结构，对教材不同板块的考察特点明显.

（一）试卷结构及试题特点

2015年的新课标全国Ⅱ卷数学试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷有12道选择题（每题5分），全部为必考内容.第Ⅱ卷为非选择题，含必考和选考两部分：必考部分有4道填空题（每题5分）和5道解答题（每题12分）；选考部分从选修系列4的“几何证明选讲”“坐标系与参数方程”与“不等式选讲”中各命制1道解答题（每题10分），考生任选1题作答，多做则按所做的第一题给分.

下表为2014年、2015年高考部分全国卷数学（理科）试题分析对照表.

由上表可以看出，从对基础知识的考查来看，今年高考数学学科的考点主要分布在函导数与方程、数列与不等式、平面向量、解析几何、立体几何和概率统计等高中数学知识体系中的六大知识板块，分值达125分，凸显了函数、数列、几何与概率统计三大主干课程，体现了《2015年普通高等学校招生全国统一考试大纲（理科·数学）》（以下简称数学考纲）关于“既要全面又要突出重点，对于支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试卷的主体，注重学科的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面”的要求.与2014年我区所使用的全国大纲卷相比，今年的新课标卷突出了新课程的内容，增加了三视图、算法、茎叶图等内容的考查.整卷试题以考查高中数学基础知识为主线：理科前8题是考查基本概念和公式的课本变式题；填空题前三题是难度较低的常规题；解答题前三题分别考查三角、概率统计和立体几何知识，虽然难度不大，但因所需使用的解题方法不是常用方法，所以属于中档题.

从对数学思想方法的考查来看，考纲的要求是“从学科整体意义和思想价值立意，要有明确的目的，加强针对性，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度”.2015年的考卷充分体现了这一点，如理科卷第12、16、21题考查了转化与化归的思想方法，第10、12、21、24题考查了分类讨论的思想，第7、11、12、14、23题用到了数形结合的思想，而函数与方程的思想在本卷中更是考查频繁.

从对数学能力的考查来看，考纲强调：“对能力的考查，以思维能力为核心.全面考查各种能力，强调综合性、应用性，切合学生实际.”这里的“各种能力”，包括空间想象能力（立体几何、导数题）、抽象概括能力（概率、导数题）、推理论证能力（立体几何、函数图像题）、运算求解能力（函数与导数题）、数据处理能力（概率统计题）以及应用意识（立体几何、解析几何题）和创新意识（函数题）等.另外，“知能并举”是今年高考的命题核心.我们以理科（文科）卷第19题为例加以说明.

如图1，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，C1D1上，A1E=D1F=4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.

（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；

（Ⅱ）求直线AF与平面α所成角的正弦值.

【试题解析】（Ⅰ）由线面平行和面面平行的性质画平面α与长方体的面的交线，交线围成的正方形EHGF如图2；（Ⅱ）由交线围成的正方形EHGF，计算相关数据.以D为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图2所示的空间直角坐标系D-xyz，并求平面α的法向量和直线AF的方向向量，利用sinθ=|cos<，>|=，求直线AF与平面α所成角的正弦值.

今年高考刚结束，就有学生发帖“吐槽”：“做了三年立体几何，第一次遇到第一问不用证明平行垂直的.”我们的高考备考，做得最多的就是证明线面、面面平行或垂直.本题第一问立足于长方体中，以“空间想象能力”为核心，综合线面平行和面面平行的性质，考查考生的应用意识，体现了高考“强调应用性”的宗旨.“知能并举”将是今后命题的核心方向.

（二）试题的三大亮点

1.体现在对统计的考查上.《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称数学新课标）指出：“现代社会是信息化的社会，人们常常需要收集数据，根据所获得的数据提取有价值的信息，并做出合理的决策.”根据这一思想，新课标高考命题也十分注重对统计的考查.如今年理科（文科）卷第3题.

根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图（如图3）.以下结论不正确的是（ ）.

A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著

B.2007年我国治理二氧化硫排放显现

C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势

D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

【试题解析】本题以二氧化硫排放量为题材，考查考生对条形图的理解，以及对数据的分析和处理能力.值柴静《穹顶之下》播出引起热议之后，该选材从正面宣传了我国政府治理二氧化硫排放的决心和效果，背景新颖，切合实际.而且，本题所涉及的两个变量的相关关系是高考的冷点，突破了以往对概念的记忆和对散点图的绘图考查，注重中学教学实际，体现了统计学的基本思想和数学新课标的要求.由柱形图可知，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，年排放量与年份负相关，故选D.

以往的大纲卷每年必有一道概率解答题，并且其第一问一定是个体个数或计算概率.而数学新课标更注重学生的数据分析和处理能力，要求学生“会收集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并做出判断……解决给定的实际问题”.如今年理科卷第18题第一问，考查了茎叶图、从数据中提取平均值与分散程度等问题.

某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89

B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79

（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）.

【试题解析】（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如图4：

通过茎叶图可以看出，A地区用户的满意度评分的平均值高于B地区用户的满意度评分的平均值；A地区用户的满意度评分比较集中，B地区用户的满意度评分比较分散.

2.体现在对算法和程序框图（流程图）的考查上.算法与程序框图是新课程增加的内容，从2007年第一套新课标全国卷问世以来，程序框图每年必考.今年的程序框图试题考查了三种基本逻辑结构，而且背景新颖，源自我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，它将古老的数学文化以考题的形式呈现出来，展示了中国古代数学在算法上的成就.纵观近8年来的新课标全国卷，算法与程序框图的命题呈现为两个阶段两种模式.

（1）第一阶段：只考查考生对流程图三种基本逻辑结构的掌握.这类考题通常是已知输入的变量值，求输出的值.解题的关键是将输入值代入流程图.如2011年新课标全国Ⅱ卷数学（理）第3题.

执行图5的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（ ）.

A.120 B.720 C.1440 D.5040

【答案】B.

（2）第二阶段：不但考查考生对流程图的三种基本逻辑结构的掌握，还考查考生对数学思想方法的理解.如2012年新课标全国Ⅱ卷数学（理）第6题.

如果执行图6的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，an，输出A，B，则（ ）.

A.A+B为a1，a2，…，an的和

B.为a1，a2，…，an的算术平均数

C.A和B分别是a1，a2，…，an中最大的数和最小的数

D.A和B分别是a1，a2，…，an中最小的数和最大的数

【答案】C.

又如今年理科（文科）卷第8题.

图7程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（ ）.

A.0 B.2 C.4 D.14

【答案】B.

程序框图（流程图）题展示了数学的思想方法，体现了新课程教材编写者将算法融入高中数学的初衷：“应该在其他有关内容中注意渗透算法思想，鼓励学生尽可能地运用算法解决相关问题.”

3.体现在对解析几何的考查上.今年理科、文科卷的解答题第20题都是对解析几何的考查.只是理科卷的第（Ⅰ）题没有遵循求标准方程或离心率的常规套路，而是转向了弦的中点坐标问题，考生可采取“点差法”或“韦达定理”两种方法求解.该题入口宽，起点低，独具匠心.第（Ⅱ）题的设置与平面几何相结合，突出了解析法的本质.本题采用数形结合、转化与化归以及函数与方程的思想，考查了考生的思维能力、运算能力、图形分析和处理能力.

二、2016年高考备考建议

很多学校在高中教学和高考备考时存在以下问题：高一、高二不注重教材，高三彻底抛开教材；复习注重进度、不注重效度，多轮复习、轮轮夹生；不重视学习过程，只关注解题的方法模式；做题多，但不重视解题后反思.这样教育出来的学生，容易成为解题的机器，而且是解简单题的机器，遇中高档题目将束手无策.那么，我们究竟应该如何科学备考呢？笔者试就本人带班的实践经验谈谈体会，供读者参考.

（一）立足教材，重视基础

从近几年的高考试题来看，基础题居多，并且很多是课本原题的变形，所以抓住课本，就能抓住至少90分.如今年理科（文科）卷第6题.

一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图8，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）.

【试题解析】由三视图得，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，截去四面体A-A1B1D1，如图9所示，设正方体棱长为a，则VA-A1B1D1=×a3=a3，故剩余几何体体积为a3-a3=a3，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为，故选D.

这道题是人教版必修2习题1.3第3题的变式延伸.可见只有注重课本、夯实基础，才能真正提高学生的数学能力.因此，教师要特别引导学生掌握好新课程中的内容.需要注意的是，对于旧教材中有而新教材已经删去的内容，教师没有必要补充，如两直线夹角公式、圆锥曲线第二定义及文科数学中有关空间向量的计算等.对于新教材正文中没有给出定义或者未曾涉及却出现在课后习题中的旧教材知识，教师要注意挖掘，及时补充给学生，如：新教材授课内容中没有给出正四棱锥的定义，但是在必修2第37页复习参考题B组第4题中却给出了正四棱锥的定义；新教材空间向量授课内容中没有距离的定义，但在选修2-1习题3.2A组第5题第2问要求求点O到平面ABC的距离，第9题要求求两异面直线的公垂线的长；等等.

（二）注重思想，重视能力

数学是一门思维的科学，学数学就是在做思维体操，这项“体操运动”的“魂”便是数学思想.新课程加强了与“图”有关的内容，如三视图、统计图、程序框图（流程图）、函数的图像与性质，以及直线与圆锥曲线的位置关系等，这些都是数形结合思想的体现和运用。运用导数研究函数的性质，涉及的是函数与方程的思想方法。在统计和概率、线性规划等应用问题中，数据处理能力则是决定性的.在教学中，教师不仅应教会学生“解题”，还应带领学生“悟题”，引导学生悟出数学的思想，数学的魂.

（三）关注反思，重视习得

数学家哈尔莫斯告诉我们：“问题是数学的心脏.”学习数学的过程与解题紧密相关，数学能力的提高在于解题的质量而不是数量，因此教师要注重研究解题的方法和策略.备考的功夫不仅要下在解题上，而且要下在反思上.解题反思能够有效提高学生的解题能力，加深学生对数学思想的理解，在复习时我们可以引导学生就审题、解题思维过程、一题多解、一解多题、解法规律、题型变式等进行深度反思.解题后的思考不仅是知识的同化和顺应过程，而且是解题与复习的强化、提升过程.

（四）集体备课，成功利器

集体备课可以激发备课教师的智慧.教师们在集体备课过程中通过交流研讨取长补短，获得理性提升，进而指导各自的教学实践.集体备课不受时间和内容限制，课间10分钟、晚自习，一道题的解法、一个知识点的教法，都可以拿来集体研讨.

（五）四轮复习，分层推进

高三的复习通常分为四个阶段，统称“四轮复习法”.

1.第一轮复习：夯实基础，全面回顾，构建知识网络.第一轮复习是四轮中最细致、最详尽也是历时最长的一轮复习.数学知识如一张大网，每一个知识点就是这张大网上的一个节点，它们互相联系，彼此“照应”.在第一轮复习中，我们不但要带领学生重温这些知识点，还要帮他们“织”好这张网，让他们知晓知识的来龙去脉，努力做到融会贯通，对整个高中数学知识体系有一个全面的认识和把握，以便于在备考应考时顺利实现知识的存储、提取和应用，同时提高思维品质.这是数学复习的重要环节.例如《立体几何》一章定理繁多，很多学生对证明点、线、面的平行垂直关系不知如何下手，如果在教学中把立体几何的定理体系这张小网“织”好了，解题就可以水到渠成了.《立体几何》定理体系如图10（见下页）所示.

俗语说：“万变不离其宗.”物质的表现形式是千变万化的，但是隐藏在其中的本质却是不会改变的，只要我们能够透过物质的外表找到不变的内在，我们就能做到以不变应万变，决胜高考.在每一章的教学中，教师自己应找到支柱概念，引导学生掌握重点公式、提炼解题方法.例如针对“平面向量”一章教学，教师须突出以下几点。（1）支柱概念：向量的加法（平行四边形法则）和数量积的运算；（2）解题方法：数形结合法和坐标法；（3）重要公式：角的计算公式cosθ=和求模公式||2=·.此外，深化“平面向量”一章的学习，揭示其思维方法，亦有利于空间向量一章的知识扩展.

美国著名教育家、心理学家布鲁纳（J.S.Bruner）认为，整体把握知识的基本结构有如下好处：（1）掌握结构有助于解释许多特殊现象，使学科更容易理解；（2）有助于促进知识技能的迁移，达到举一反三、触类旁通的目的；（3）有助于缩小高级知识与初级知识的差距.

高考试题有它的基本原则，也有热点和冷点，但是谁也不能肯定哪个点一定考或不考，如今年理科第3题考查柱形图、正相关，第8题考查“更相减损术”，都是以往比较少见的，因此不能只关注热点.第一轮复习以“全面、细致、基础”为要点.在这一阶段，要特别注意培养和提高学生解答选择填空题的能力.

2.第二轮复习：主攻专项，专题整理，螺旋式上升.布鲁纳认为，数学的基本观念，必须通过反复地学习，通过在越来越复杂的形式中加以运用，才能不断加深理解，进而逐渐掌握并有效地加以运用.根据螺旋式上升理论，第一轮复习不宜过深过难，以建构知识网络为目的；第二轮复习则不再重视知识结构的先后顺序，而是专题强化训练，目的是提高学生解答高考大题的能力，同时加强学生对数学思想方法的理解和掌握.第二轮复习要关注高考解答题考查的八大热点：①数列；②三角与平面向量；③不等式（解与证，奥赛班上）；④解析几何；⑤立体几何；⑥概率、统计；⑦导数及应用；⑧极坐标与参数方程.此阶段以典型例题为载体，以数学思想方法的灵活运用为线索，讲求解题策略，在第一轮复习的基础上进行巩固、完善、综合、提高，并特别加强对思维品质和综合能力的培养，着眼于知识的重组，建立完整的知识能力结构，包括学科的方法能力、思维能力、表达能力，但这都必须建立在识记能力基础之上，理解知识的来源及其所蕴含的数学思想、数学方法，把握知识的纵横联系，培养探索研究问题的能力.这轮开始要两手抓，一手抓综合性选择填空题训练，一手抓解答题训练.

3.第三轮复习：综合训练，以考促教，提高综合能力.这一阶段以套题为主，教师的讲评围绕上轮的高考热点知识，并兼顾解题策略，教给学生一些解题的特殊方法与技巧，以提高学生的解题速度和应试能力.此时，应要求学生做题后积极反思，优化解题过程，完善解题表达.同时教师自己要注意研究近三年的高考题，落实到每一个考点，将考点分成热门考点、冷门考点、高频考点、低频考点等，研究考点的考查难度，以此预测下年度高考命题趋势，为停课阶段的命题训练提供思路.

4.第四轮复习：回归课本，冲刺保温，调整竞技心态.高考前半个月，复习主动权交回给学生，教师仅作方向性的指导，学生回归课本，再次夯实基础，进一步提炼数学思想方法，同时回顾前三轮复习的内容，提升解题正确率.在这一阶段，教师要指导学生识别陷阱，以及高中数学的易错点，提醒学生要“见坑跳”不要“见坑钻”.（注：本文所用高考真题的配图系按本文用图顺序排序）