整体最小二乘理论发展及其在测量中的应用

艾强 曾春琴 仉明坤

【摘 要】经典的测量数据处理大多以最小二乘法为估计准则，但是随着测量仪器精度的提高，测量数据处理的模型误差已经不能忽略了。由于仪器、观测人员以及环境等因素影响，这些随机元素都包含有测量误差，系数矩阵就变成了包含测量误差的变量矩阵。如何解决好系数阵和观测向量同时受高斯噪声干扰的测量EIV模型成为了研究热点。

【关键词】测量数据处理 误差模型 整体最小二乘

1整体最小二乘原理

针对观测向量和系数矩阵同时包含误差的模型，许多学者提出了有效的解决思路，最后由Golub和Van Loan对其进行归纳总结，提出并称之为整体最小二乘法（TLS）。该方法是最小二乘法的补充和延伸，与最小二乘法相似但不相同。

我们用直线拟合的模型来探讨整体最小二乘的原理并与最小二乘法作比较，整体最小二乘法既要考虑设计矩阵的误差，又要考虑观测向量的误差，于是直线方程可改写为，其中，为参数a，b的估值，为横坐标的真值，e为横坐标x的观测误差。则直线方程可改写为，式中。按整体最小二乘法的原理，在保证系数阵的残差与观测值的残差的二范数之和达到最小的条件下，仿照最小二乘的估计准则，求解出参数a，b的估值。即

在运算准则上，最小二乘法对观测量的误差平方和进行最小化约束，而整体最小二乘法则要求系数矩阵的误差平方和与观测值向量的残差平方和两者之和达到最小。它们之间的理论差异可以从如下的几何图形看出：

（1）LS（仅考虑y的误差） （2）LS（仅考虑x的误差） （3）TLS（同时考虑x，y的误差）

图（1）和（2）反映了最小二乘法的几何意义：分别只考虑了观测向量x、y的误差，图（3）则反映了整体最小二乘法的几何意义：同时考虑x和y两者的误差，在两者残差平方和最小时求出。

Golub 和Van Loan提出了整体最小二乘法理论，并用奇异值分解方法（SVD）进行解算。

2整体最小二乘分类

（1）混合最小二乘。同时改正系数矩阵和观测向量的误差是整体最小二乘的基本思想，而在有些情况下，比如在直线（曲面）拟合、直角坐标转换等模型中系数矩阵的某些固定元素不需要修正。所以，应区别对待不同的设计矩阵，分别采取LS法和TLS法求解相应的参数，这种处理方法简称混合最小二乘。

（2）多元整体最小二乘（MTLS）。在一些EIV模型中系数矩阵的某些元素重复出现，而且可以将方程组的观测向量转换为含有两列以上的观测值矩阵的形式。有学者提出了多元整体最小二乘法（MTLS），把观测向量合理分割成几列，避免了随机元素重复出现，减弱了随机元素间的相关性对解算结果的影响。

（3）加权整体最小二乘（WTLS）。普通整体最小二乘法将系数矩阵的所有元素进行改正，混合最小二乘法则区别对待系数矩阵的不同列。但两种方法都假设观测值等权，观测向量、设计矩阵两者的权阵均为单位阵。然而系数阵的常数元素以列与随机元素的形式出现，而且很多情况下观测值的精度是不同的。用普通的整体最小二乘法、混合最小二乘法、多元整体最小二乘法都有不足，所以就产生了加权整体最小二乘法。WTLS通过加入系数矩阵和观测向量的权阵，可以考虑随机元素的精度和固定系数矩阵中所有不含误差的常数元素。

（4）附有约束条件的加权整体最小二乘。在测量数据处理过程中，可能会遇到所选未知数个数多于必要观测个数，且选取的u个参数中，有n个相互独立，有s=u-n个限制条件。数据处理时必须列出n个观测方程和s个限制参数间关系的条件方程才能求得唯一的参数估值。

（5）改进的加权整体最小二乘（IWTLS）。将整体最小二乘法引入测量数据处理后，在用整体最小二乘法解算直角坐标转换参数过程中，发现系数矩阵中有不需要修正的常数，还存在某些随机元素重复出现的问题，重复元素之间肯定存在相关性。利用Vahid Mahboub提出的协方差阵构造方法，使得重复元素的改正数相等，改进原有的加权整体最小二乘法。

3整体最小二乘在测量中的应用

作为一种新的数据处理方法，整体最小二乘法很快引起了测绘学者的关注。Davis在赫尔默特变换的基础上利用整体最小二乘法分析了土木工程设计中常用的拟合方法。Yavuz等在电离层层析成像研究中，利用整体最小二乘法对电离层电子密度进行反演，与传统的正则化最小二乘法相比，反演计算的复杂性和图像重构误差都得到了一定程度的改善。Richard和Branham把整体最小二乘法作为天文测量中许多变量回归问题处理的理想方法。Juang提出了基于整体最小二乘法的GPS定位和接收机完好性检测模型。Felus、 Neitzel等提出将二维直角坐标的相似变换模型转换为EIV模型，然后用整体最小二乘法解算。所以，整体最小二乘法在测绘领域的研究将越来越深入，应用将越来越广泛。

参考文献：

[1]魏木生.广义最小二乘问题的理论和计算[M].北京：科学出版社，2006.

[2]刘永辉，魏木生.TLS和L3问题的比较[J].计算数学，2003，（04）：479一492.