多线性分数次积分算子的交换子在Herz型空间上的有界性

耿朋勃，周 疆

（新疆大学数学与系统科学学院，乌鲁木齐830046）

多线性分数次积分算子的交换子在Herz型空间上的有界性

耿朋勃，周 疆

（新疆大学数学与系统科学学院，乌鲁木齐830046）

利用Minkowski不等式、H觟lder不等式及一些泛函分析技巧，证明了由分数次积分算子Il和Lipschitz函数生成的多线性交换子[b，Il]在Herz空间与Morrey-Herz空间上的有界性.

分数次积分算子；多线性交换子；Lipschitz函数；Herz空间；Morrey-Herz空间

1 引言与主要结论

很多数学物理问题中都涉及关于Poisson方程Δu=f解的正则性的研究，其中标准的分数次积分算子Il（又称Riesz位势算子）定义为

分数次积分算子Il是调和分析理论中重要的奇异积分算子之一，基于其深刻的数学物理方程背景，标准分数次积分算子Il的理论研究被众多学者关注，并取得了显著的成果[1-4].Sobolev证明了Il是（p，q）型的，而Zygmund则给出了其弱（ ）型估计[5].

算子的有界性和函数空间的刻画是调和分析的2方面重要内容，交换子可以对函数空间进行刻画，因此，研究交换子也是非常有意义的.定义由函数b和算子Il生成的交换子：

Janson[6]证明了交换子[b，Il]是（p，q）型的（1＜p＜q＜∞），当且仅当b∈Lipβ（Rn）（β=n（1/p-1/q））.其中，Lipschitz空间Lipβ（Rn）（0＜β≤1）是指所有满足

的函数构成的空间.

Morrey空间和Herz空间都是Lebesgue空间的推广，Il及其交换子在这2个空间上的研究也取得了很多成果.Peetre[7]和Adams[8]研究了Il在Morrey空间上的有界性，陆善镇等[9]则研究了Il在Herz空间上的有界性.对于Morrey空间中分数次积分算子的交换子，Shirai[10]证明了[b，Il]是从Mλp（Rn）到Mμq（Rn）上的有界算子.

下面介绍齐次Herz空间和齐次Morrey-Herz空间的定义.设Bk={x∈Rn：，Ak=BkBk-1，χk=χAk，k∈Z，其中χE是集合E的特征函数.

定义1 设α∈R，0＜p、q＜∞，齐次Herz空间K觶α，pq（Rn）定义为

其中

定义2 设α∈R，0＜p、q＜∞，λ≥0，齐次Morrey-Herz空间定义为

其中

本研究讨论分数次积分算子的多线性交换子.设b=（b1，…，bm），定义由b与Il生成的多线性交换子为

1＜q1＜n/l，1/q2=1/q1-（l+β）/n，0＜p1≤p2＜∞，-n/ q2＜α＜n（1-1/q1），则存在常数C＞0，使得

2 定理的证明

定理1的证明 如果p1＜p2，则从而只需证明p=p=p的情形.12

利用Minkowski不等式可得

首先对I2进行估计，由于显然[b，Il]从Lq1（Rn）到Lq2（Rn）是有界的（1/q2=1/q1-（l+β）/n），所以有

对于I1，注意到：当x∈Ak，j≤k-2以及y∈Aj时，有利用H觟lder不等式及Lipβ（Rn）的性质，可得

由以上估计可得

当0＜p≤1时，根据已知条件α＜n（1-1/q1）可得

当1＜p＜∞时，根据已知条件α＜n（1-1/q1）可得

现在估计I3，当x∈Ak，j≥k+2以及y∈Aj时，有使用类似于I1的估计方法，应用H觟lder不等式可得

从而

类似于前面的方法，由条件α＞-n/q2，有

综合I1、I2和I3的估计得

定理1证毕.

定理2的证明 类似于定理1的证明，同样只需证明p1=p2=p的情形.为简便，下文中取‖bi‖Lipβi(Rn)= 1，1≤i≤m.

首先估计II2，根据[b，Il]从Lq1（Rn）到Lq2（Rn）有界，可得

对于II1，注意到：当x∈Ak，j≤k-2以及y∈Aj时，有.类似于I1的估计，并且由

可得

对于II3，根据α＞-n/q2+λ，类似于I3的估计，对0＜p≤1，1＜p＜∞分别讨论，可得

再由条件α＜n（1-1/q1）+λ，可得

综上可得

定理2证毕.

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[5] STEIN E M.Singular integrals and differentiability properties of functions[M].Princeton：Princeton University Press，1970.

[6] JANSON S.Mean oscillation and commutators of singular integral operators[J].Ark Math，1978，16（2）：263-270.

[7] PEETRE J.On the theory of Lp，λspaces[J].J Funct Anal，1969，4（1）：71-87.

[8]ADAMS D R.A note onRieszpotentials[J].DukeMathJ，1975，42（4）：765-778.

[9] LU S Z，YANG D C.Hardy-Littlewood-Sobolev theorems of fractional integration on Herz-type spaces and its applications[J].Can J Math，1996，48（2）：363-380.

[10]SHIRAI S.Necessary and sufficient conditions for boundedness of commutators of fractional integral operators on classical Morrey spaces[J]. Kokkaido Math J，2006，35（3）：683-696.

（责任编校 马新光）

Boundedness of multilinear commutators of fractional integral operators on Herz-type spaces

GENG Pengbo，ZHOU Jiang
（College of Mathematics and System Sciences，Xinjiang University，Urumqi 830046，China）

The boundedness of the multilinear commutators[b，Il]generated by the fractional integral operators Iland Lipschitz function on Herz spaces and Morrey-Herz spaces are proved by using the Minkowski inequality，the H觟lder inequality and some method of functional analysis.

fractional integral operator；multilinear commutator；Lipschitz function；Herz space；Morrey-Herz space

1671-1114（2015）04-0012-04

O174.2

A

2014-12-06

国家自然科学基金资助项目（11261055）.

耿朋勃（1990—），男，硕士研究生.

周 疆（1968—），男，副教授，主要从事调和分析方面的研究.