基于换位思考的课堂教学设计——以三维直角坐标系下三重积分课堂教学为例

余晓娟，谢承蓉



基于换位思考的课堂教学设计——以三维直角坐标系下三重积分课堂教学为例

余晓娟，谢承蓉

(郧阳师范高等专科学校数学与财经系，湖北十堰 442000)

以三维直角坐标系下的三重积分课堂教学为例，基于换位思考通过典型例题剖析、发现规律等步骤设计一堂课的教学设计，启发引导学生掌握“投影法”和“截面法”的使用步骤和使用技巧，达到掌握知识的目的.

教学设计；三重积分；投影法；截面法

1 问题背景

在系统讲完三维直角坐标系下三重积分的定义、性质及两种计算方法(“先一后二”和“先二后一”)后，用一道习题检测学生学习效果，题目为：求，其中是由曲面和平面=0和=1围成[1]. 要求学生尽可能详细地写出解题过程，遇到困难可把原因标注出来. 结果显示：笔者任教的郧阳师范高等专科学校2013级数学教育专业某班共57名学生(含19名男生、38名女生)仅有16名学生(含2名男生、14名女生)完成了该题求解的第一个步骤，即把被积函数展开，拆成2项或3项. 这其中的6名学生(含1名男生、5名女生)计算出正确结果，超过2/3学生不知所云. 问题主要表现为：1)做题思路完全不清晰，未理解“先一后二”和“先二后一”两种方法；2)方法未能完全掌握，如投影区域、曲顶曲底或截面区域不能正确表示；3)可以用这两种方法正确表示，但未掌握三重积分计算；4)做题缺乏自信. 三重积分积分区域复杂、计算繁琐，是重积分计算中的一大难点，学生刚学完新内容就做题遇到这些问题、正确率低是正常的，但需要引起重视，并对这些问题根源进行探析和改变教学方式.

2 解题过程反思

其次，积分区域是一个简单圆柱体，无论是“先一后二”找曲顶曲底和投影区域还是“先二后一”找截面区域，看似比较简单，但由于使用“先一后二”时的曲顶曲底和使用“先二后一”时的包围立体的两平面一样，同时投影区域D和截面区域D的表达式也一样，导致学生在使用这两种方法时思路混乱从而造成累次积分计算顺序混乱.

另外，相当一部分学生反映做题时缺乏自信，不确信自己的解题正确与否，凭感觉答题.

基于上述教学分析，笔者以三维直角坐标系下三重积分课堂教学为例，通过换位思考、典型例题剖析、发现规律等，同时调动学生课堂参与积极性，达到熟练掌握知识的目的.

3 教学设计

3.1 换位思考，了解学生思维盲区

现代教学理念提倡基于学生视角进行教学设计[2]. 在这一理念下，教师需要与学生换位思考，把自己原有的认知结构替换成类似学生的认知结构，站在学生角度思考遇到问题会经历怎样的经验碰撞、逻辑分析和推理论证等过程，对学生认知规律进行重新认识.

通过课后访谈和抽样调查，笔者发现大部分学生纠结在不知道“先一后二”和“先二后一”具体是什么意思，只是机械地记住了公式. 这种被动机械地接受的学习方式导致学生在独立解决具体问题时缺乏应有的分辨能力和自信，不知道该用哪种方法，更不可能知道每种方法具体适用于什么题型.

基于学生视角进行思考，笔者认为学生的说法不无道理，即“先一后二”和“先二后一”的表述确实比较抽象，且容易混淆，如果换成“投影法”和“截面法”[3]更加具体生动，也更容易理解. 鉴于此，笔者把计算公式改写为：

显然，经过更换方法后，对公式的理解更加直观. 学生自己总结这两种方法的解题步骤，然后笔者对学生进行抽样调查发现，其解题思路清晰，全班对公式理解效果比较好.

3.2 典型例题剖析，熟悉公式应用

此题为华东师大数学系主编的《数学分析》下册第21章第5节例2的一个变式，但此时被积函数和积分区域已有变化，且建立在“投影法”和“截面法”下，势必会给学生带来新的变化. 故应站在学生角度，在学生普遍的思维框架下加以引导. 可按以下方式设计教学环节：

图1 抛物面三维视图

首先，不妨先画出积分区域，然后观察其特点，最后再确定方法. 如图1所示，可从两个途径描述：

此时，部分学生思路开始清晰：用不同方式描述，就意味着用不同方法求解. 对于这部分学生老师应给予极大肯定，并鼓励其写出不同方法下累次积分的表达式. 正确表达式如下：

3.3 及时总结规律，深化理论认识

由上例可以看出，一些问题可以用两种方法解决，但是不同的方法有没有针对性呢？

一部分学生发现，此题使用截面法计算异常简单，原因在于被积函数只与相关，而二重积分的变量又是,，故可提到积分符号外面，二重积分就变成了求截面区域的面积，而截面区域可看成以为半径的圆，问题就迎刃而解.

教师应鼓励学生分组讨论总结规律：若被积函数只和相关，可用平面=去截积分区域，使用截面法可简化运算. 并引导学生，继续思考若被积函数只和或相关的情况，并出示以下练习：

注：此练习的目的一为巩固上述结论，二为复习积分的线性性质，为下面的讲解做好铺垫.

3.4 循序渐进，强调公式应用细节

有了上述铺垫，面对此问题，学生可以自然会想到利用三重积分的线性性质将被积函数拆成两部分和，并分别使用“投影法”和“截面法”来完成. 同时有些学生在解题过程中会发现，对于1来说，这两种方法的难易度和计算复杂度区别不大，这是因为此题中的积分区域是柱体，即投影区域和截面区域是相同的.

对于这一发现，教师可在肯定其善于思考的同时也应进一步强调，虽然这两种方法只是积分顺序不一样，但其蕴涵了两种不同的解题思想，在具体解题过程中不能混为一谈.

3.5 横向拓展，激发学生发散思维

和例3相比，例4的被积函数多了2一项，也即只需求出就知道此题答案. 根据全样本调查发现，有4/5的学生得到正确答案为0，使用这两种方法的比例接近1:1. 教师可根据此特殊结果，引导学生思考积分与被积函数以及积分区域形式的关系.

从而引导学生得出结论：1)如果积分区域在O面不易投影或不便运算，可将其投影到O或O面上进行运算，计算公式也将相应变化. 2)如果被积函数关于(或)是奇函数，积分区域关于投影平面对称，则积分为零.

3.6 增强自信，综合应用知识解决复杂问题

通过上述课堂设计教学和引导，然后对文章开头的例题重新对学生解题进行调查. 经现场调查发现：全班57名学生，除2名学生基础太差外，其他55名学生均能准确写出第一步，其中40名学生得到了正确的结果，正确率较之前提高了60%. 关于非认知因素方面，经课后访谈调查，之前表现出不自信、缺乏成就感、对题目抱有畏难甚至恐惧情绪的学生也大大减少.

4 结语

本课堂设计建立在从教师与学生换位思考的角度对学生课后习题表现进行分析的基础上，效果比较好，学生比较容易掌握新知识. 因此，课堂教学设计应该注重以下几点：一是遵循学生的认知规律，由易到难、由简到繁、由特殊到一般循序渐进. 二是换位思考，站在学生的立场看待问题，了解其需要和难点. 三是反思贯穿教学过程每个环节. 边教学边思考，促使了教学预设目标和生成目标的共同达成. 四是，尽可能调动学生的积极性，及时鼓励和赞扬学生也是至关重要的. 最后就是充分信任学生，相信他们可以自己发现规律，并在老师的启发引导下可以独立解决问题.

[1] 钱吉林. 数学分析解题精粹[M]. 武汉: 崇文书局, 2003: 523-545.

[2] 周永凯, 王文博, 田红艳. 现代大学教学设计与案例[M]. 北京: 中国轻工业出版社, 2010.

[3] 李 昆, 赵 刚. 三重积分中两种计算方法的比较[J]. 孝感学院学报, 2010(6): 23-25.

[4] 华中师范大学数学系. 数学分析(下册)[M]. 4版. 北京: 高等教育出版社, 2010: 255-259.

[5] 王策三. 教学论稿[M]. 2版. 北京: 人民教育出版社, 2005.

[6] 周 浚. 三重积分求解方法的深入研究[J]. 荆楚理工学院学报, 2010(7): 38-41.

[7] 林 谦. 直角坐标系下三重积分计算法的探讨[J]. 云南师范大学学报: 自然科学版, 1999(5): 67-72.

(责任编辑：饶 超)

A Teaching Design Based on Transpositional Consideration: Taking Triple Integral in Right Angle Coordinate System as an Example

YU Xiaojuan, XIE Chengrong

(Mathematics and Financial Department, Yunyang Teachers’ College, Shiyan 442000, China)

Taking classroom teaching for triple integral in right angle coordinate system as an example, based on transpositional consideration, it focuses on analyzing typical examples and looking for rules to make the students master projection method and section method.

Teaching design; Triple integral; Projection method; Section method

G642.421

A

2095-4476(2015)05-0081-04

2015-03-12;

2015-04-08

郧阳师专校级科研项目(2013C07)

余晓娟(1981— ), 女, 湖北郧县人, 郧阳师范高等专科学校数学与财经系讲师.