Birkhoff框架下Whittaker方程的离散变分算法*

刘世兴李娜 刘畅

（辽宁大学物理学院，沈阳 110036）

Birkhoff框架下Whittaker方程的离散变分算法*

刘世兴†李娜 刘畅

（辽宁大学物理学院，沈阳 110036）

本文在Birkhoff框架下，采用离散变分方法研究了非Hamilton系统-Whittaker方程的数值解法，并通过和传统的Runge-Kutta方法进行比较，说明了在Birkhoff框架下研究非Hamilton系统可以得到更加可靠和精确的数值结果.

Whittaker方程，Birkhoff方程，离散变分方法

引言

Lagrange系统或Hamilton系统具有简单的辛几何结构，自动满足自伴随性质，可以用来描述耗散可忽略的保守动力学系统，并在动力学系统的保结构算法研究中具有重要意义［1-3］.但是对于本质非自伴随的动力学系统，在保持实验室可观测量或动力学函数物理意义不变的情况下，则不能表示为Lagrange或Hamilton系统.我们称这类不能表示为简单Lagrange或Hamilton方程的动力学系统为非Lagrange或非Hamilton系统［4］.如Beteman在1931年描述了一个始终不能求解的问题.之后，Tolman根据这个故事提出了如下问题：是否存在不能由Lagrange函数得到的方程组？Whittaker提出如下方程［5］：

并确信该方程不能由任何Lagrange函数导出，即不能将该方程表示成Lagrange方程或Hamilton正则方程组的形式.这个方程就是著名的Whittaker方程，其在Lagrange力学逆问题以及Birkhoff力学的研究和发展过程中起着重要的作用.物理和工程应用中存在着大量的非Hamilton系统，如非完整系统，非保守系统，奇异系统等都不能在保持实验室可观测量或动力学函数物理意义的情况下表示为简单的Hamilton系统，然而，将不满足自伴随条件的非Hamilton系统表示为具有一般辛结构的Birkhoff系统，则能够实现动力学系统的自伴随化，并保持实验室可观测量或动力学函数的物理意义.对于这类系统，由于不具有简单的辛结构，传统的保辛算法已经不再适用，因此需要找到一种较理想的数值算法来数值求解这类系统的运动方程问题. Birkhoff动力学是Hamilton动力学的自然推广，是一般辛结构的局部实现［6］，因此，在Birkhoff框架下研究非Hamilon系统问题，不但可以推广和深化Hamilton动力学理论，同时通过对Birkhoff系统的几何数值积分的研究，也可以间接的实现非Hamilton系统的保结构算法，从而对解决工程科学中大量的非Hamilton系统问题具有重要的理论意义和工程应用价值.本文以Whittaker方程为例，在Birkhoff意义下，将Whittaker方程表示为自治Birkhoff方程的形式，并采用离散变分方法，给出研究这类非Lagrange或非Hamilton系统的数值积分子.通过数值实验说明了在Birkhoff框架下研究这类系统的几何数值积分问题是合理和有效的，从而为研究非Lagrange或非Hamilton系统的几何数值积分问题开辟了一条新的途径.

1　Whittaker方程的Birkhoff表示

如果取a1=x，a2=y，a3=˙x，a4=˙y，则原方程（1）可以写成如下的1阶形式：

该系统有如下的第一积分：

利用Hojman方法，则可以求得Birkhoff函数和Birkhoff函数组：

从所得到的Birkhoff函数（3）和Biikhoff函数组（4）可以看出，Whittaker方程的Birkhoff表示为自治Birkhoff方程［6］.

2　自治Birkhoff积分子的构造

取离散空间为M×M，并取定时间步长h∈R，定义离散Pfaff函数Pd：M×M×R→R，从而给出离散作用泛函为［7-10］：

利用离散变分计算δAd=0，并考虑端点条件δa0=δaN=0，则可以得到如下离散自治Birkhoff方程：

这里，DB为离散Birkhoff映射，写成坐标形式如下：

这里DiPd（i=1，2）表示对Pd中第i个变量的偏导数.如果取

作为中间变量，通过求解隐式方程（10）可以得到ak+1，然后求解显式方程（11），则得到映射：Pd：（ak，bk）→（ak+1，bk+1），即给出系统随时间的演化.可以证明，映射Pd保持离散Birkhoff辛形式［10］，从而方程（10）和（11）给出了计算自治Birkhoff系统的Birkhoff辛积分子.可以采用许多方法离散Pfaff函数，如中点格式，Verlet方法，Runge-Kutta方法等［11］.本文采用Euler中点格式来离散Pfaff函数.

3　Whittaker方程的数值分析

可以看出，Whittaker方程的解随时间呈指数增加.

将Whittaker方程的Birkhoff表示（3）和（4）代入（5）中的P（a，˙a）=Rμ（）a（）-B a，并采用Euler中点格式可以得到离散Pfaff函数：

将其代入离散Birkhoff方程（9）就可以得到离散Birkhoff积分子，从而可以数值计算求解出Whit-taker方程的数值解，从而得出系统随时间演化的曲线.

图1和图2分别表示计算所得的x和y的相对误差，实线表示在Birkhoff框架下采用本文方法算得的结果，而点线表示在原方程框架下采用2阶R-K方法算得的结果，从图中可以看出，虽然两种框架下算得的结果的相对误差都随时间的增加而发散，但在Birkhoff框架下采用离散变分方法算得的x和y相对精确解的误差要远远小于在原方程框架下采用R-K法算得的结果，且发散的较慢，这充分说明在Birkhoff框架下采用离散变分方法计算这类问题相比较而言具有较好的稳定性，能够得到相对真实的结果.

图1　x的相对误差Fig.1 Relativity error of x

图2　y的相对误差Fig.2 Relativity error of y

4　结论

通过对Whittaker方程的数值研究，说明在求解这类不能表示成Lagrange方程或Hamilton方程的非Hamilton系统的数值解时，为了得到更好的数值结果，可以将该系统的运动方程转化为具有自伴随特性的Birkhoff方程的形式，从而在Birkhoff框架下研究非Hamilton系统的数值积分问题，以得到更加可靠、精确的数值结果.

1 冯康，秦孟兆.哈密尔顿系统的辛几何算法.杭州：浙江科学技术出版社，2003（Feng K，Qin M Z.Symplectic geometric algorithms for Hamiltonian systems.Hangzhou：Zhejiang Science and Technology Press，2003（in Chinese））

2 Hairer E，Lubich C，Wanner G.Geometric numerical integration structure-preserving algorithms for ordinary differential equations.Berlin：Springer，2002

3 高强，钟万勰.Hamilton系统的保辛守恒积分算法.动力学与控制学报，2009，7（3）：193～199（Gao Q，Zhong W X.The Symplectic and energy preserving method for the integration of Hamilton system.Journal of Dynamics and Control，2009，7（3）：193～199（in Chinese））

4 刘畅，宋端，刘世兴，郭永新.非齐次Hamilton系统的Birkhoff表示.中国科学：物理学、力学、天文学，2013，43（3）：541～548（Liu C，Song D，Liu S X，Guo Y X. Birkhoffian representation of non-homogenous Hamiltonian systems.Scientia Sinica Physica，Mechanica and Astronomica，2013，43（3）：541～548（in Chinese））

5 梅凤翔.关于Whittaker方程和Hojman-Urrutia方程.力学与实践，2012，34：62～63（Mei F X.About Whittaker equation and Hojman-Urrutia equation.Mechanics in Engineering，2012，34：62～63（in Chinese））

6 梅凤翔，史荣昌，张永发，吴惠彬.Birkhoff系统动力学.北京：北京理工大学出版，1996（Mei F X，Shi R C，Zhang Y F，Wu H B.Dynamics of Birkhoff systems.Beijing：Beijing Institute of Technology Press，1996（in Chinese））

7 Liu S X，Liu C，Guo Y X.Geometric formulations and variational integrators of discrete autonomous Birkhoff systems. Chinese Physics B，2011，20（3）：034501

8 宋端，刘世兴.Birkhoff意义下Hojman-Urrutia方程的离散变分计算.动力学与控制学报，2013，11（3）：199～201（Song D，Liu S X.Discrete variational calculation of Hojman-Urrutia equation in the Birkhoffian sense.Journal of Dynamics and Control，2013，11（3）：199～201（in Chinese））

9 Liu S X，Hua W，Guo Y X.Research on the discrete variational method for a Birkhoffian system.Chinese Physics B，2014，23（6）：064501

10 刘世兴，刘畅，郭永新.Birkhoff意义下Henon-Heiles方程的离散变分计算.物理学报，2011，60（6）：060000（Liu S X，Liu C，Guo Y X.Discrete variational calculation of Henon-Heiles equation in the Birkhoffian sense. Acta Physica Sinica，2011，60（6）：060000（in Chinese））

11 Marsden J E，West M.Discrete mechanics and variational integrators.Acta Numerica，2001：357～514

DISCRETE VARIATIONAL CALCULATION OF WHITTAKER EQUATION IN THE BIRKHOFFIAN FRAMEWORK*

Liu Shixing†Li Na Liu Chang
（College of Physics，Liaoning University，Shenyang 110036，China）

In this paper，the numerical algorithms of Whittaker equation，which is a non-Hamiltonian system，are researched by using the discrete variational method in the framework of Birkhoffian.Compared with Runge-Kutta method，the numerical results show that the more reliable and accurate numerical results are obtained when the non-Hamilton systems without simple symplectic structure are studied in the Birkhoffian framework.

Whittaker equation，Birkhoff equations，discrete variational methods

15 December 2014，revised 31 December 2014.

E-mail：liushixing@lnu.edu.cn

10.6052/1672-6553-2015-005

2014-12-15收到第1稿，2014-12-31收到修改稿.

*国家自然科学基金资助项目（11472124，11202090，11172120和11301350），辽宁省博士启动基金资助（20141050），辽宁省教育厅科学技术研究一般项目（L2013005）

E-mail：liushixing@lnu.edu.cn

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China（11472124，11202090，11172120 and 11301350），the Dr.Start-up fund in liaoning province（20141050）andthe General science and technologyResearch Plans of Liaoning Educational Bureau（L2013005）