具有Hartree类非线性项的非齐次薛定谔方程的初边值问题

丁 凌，张金玲，庄常陵



具有Hartree类非线性项的非齐次薛定谔方程的初边值问题

丁 凌，张金玲，庄常陵

(湖北文理学院数学与计算机科学学院，湖北襄阳 441053)

用Banach空间的不动点定理及各种先验估计研究具有Hartree类非线性项的非齐次薛定谔方程，并且在给定的初值和边值条件下得到方程全局解的存在性结论，推广了相关文献的结果.

非齐次薛定谔方程；Hartree类非线性项；先验估计；不动点定理

1 研究现状及难点

本文考虑如下非齐次Hartree类非线性项的薛定谔方程：

其中W是中具有光滑边界¶W的有界开区域，常数,>0，1<<¥，Î1(W)，Î3(¶W´(-¥,+¥))有紧支集且在迹意义下满足相容性条件(, 0)=(). 这里Hartree项

在本文中，问题(1)的主要困难在于非齐次边界条件. 有人可能认为问题(1)的解和齐次问题的解一样容易得到，然而并不是. 例如，关于解的2范数的导数简单等式，具体表述为

此式卷入了法向导数的边界积分，而边界积分不能由边界值具体表示. 如何利用它进行估计也不明显. 非齐次问题的通用解法是化为齐次问题，但在这里不适用，否则就破坏了非线性项的性质. 另外，由于Hartree类非线性项的介入致使估计变得更加复杂.

为方便起见，记=Ñ|¶W，==Ñ×，且用=(1,2, …,n)表示¶W的单位外法向量. 因为¶W是光滑的，所以存在从到不依赖于的光滑函数=(1,2, …,)使得|¶W=成立. 如果¶W是无界时，不妨作如下假定1)的直到3阶的导数是有界的；2)存在>0，当||>有(,)=0成立. 记¶=¶¶x(=1,2,…,). 用表示的共轭复数，用,0,1,2,…表示不同的正常数.

2 预备引理

引理1 如果是方程(1)的光滑解，下列等式成立：

证明：用文献[3]中引理1同样的证明方法可证，在此省略.

引理3 对于任意的常数0>0，存在0>0，使得当则方程(1)存在唯一的一个解.

设，为了寻求方程(1)的解，就转化成求解满足如下的方程

给定Î，问题(5)可以写成积分形式

这里-是空间到自身上的单位算子群，Î. 考虑集合

于2018年3月，经实地调查在临沂市主城区街道共布设36个采样点（图1）。这些街道均是平时人流量与交通量较大的繁华街道，贯穿了南部老城区与北部新区，基本代表了临沂市城区的整体情况。各采样点原则上均匀分布于上述街道，同时考虑尽可能靠近周边的中小学校，以此充分评估未成年人的暴露风险。采样当日需保证路面干燥且连续一周以上无降水，使用干净毛刷在距路面边缘0.5 m范围内仔细来回清扫，四分法留取约200 g灰尘样品，装入聚乙烯袋密封保存。

对于Î，及每个0>0，存在正常数和使得

采用同样方法，根据引理2可得

引理4 固定>0，如果是为方程(1)在([0,0],1(W))上的解，则存在常数C>0使得对所有的Î[0,]都有成立.

证明：引理1中式(4)是在方程(1)光滑初边值问题有光滑解条件下得到的. 对于一般初边值可以通过渐近和子列的极限建立问题(1)的唯一解Î([0,0],1(W))的存在性结论. 因此总是假定光滑初边值.

对于¶W上的任意一点，可以写成||2=|×|2+|×Ñ|2，这里×Ñ表示的切向分支. 把此式代入(4)式可得

因为是W上的光滑函数且Î3关于有紧支集，则由Hlder不等式及Hardy不等式可得

再由(3)和(8-10)式及在区间[0,]上的积分可得

再由引理1的式(2)和(3)可得

3 主要定理及证明

定理假定W是中的有界区域，Î1(W)，Î3(¶W´(-¥,+¥))有紧支集且在迹意义下满足相容性条件，即(, 0)=()，则方程(1)有唯一的解Î((-¥,+¥),1(W)).

证明：根据引理3和4，对于有界区间[0,] ,=1,2,…，方程 (1)有唯一解Î([0,],1(W))，对于Î(-¥, 0)可采用同样方法证明. 于是方程(1)有唯一解Î((-¥,+¥),1(W)).

注记 本定理把文献[3](=0)和文献[4](=0)的结果分别推广≠0和≠0的情形.

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[3] STRAUSS W, BU C. An inhomogeneous boundary value problem for nonlinear Schrdinger equations[J]. Journal of Differential Equations, 2001, 173(1): 79-91.

[4] MA L, CAO P. Inhomogeneous boundary value problem for Hartree type equation[J]. Journal of Mathematicsal Physics, 2010, 51(2): 023516(1-10).

[5] 丁 凌, 肖氏武, 姜海波. 非齐次边界条件下的具有复合级数非线性项的薛定谔方程[J]. 西南师范大学学报: 自然科学版, 2011,36(5): 55-60.

Initial and Boundary Value Problems of Nonhomogenous Schrdigner Equations with the Hartree Type Nonlinearity

DING Ling, ZHANG Jinling, ZHUANG Changling

(College of Mathematical and Computer Sciences, Hubei University of Arts and Science, Xiangyang 441053, China)

An nonhomogenous Schrdinger equation with the Hartree type nonlinearity is studied by using Banach fixed point theory and all kind of priori estimations, an existence result of global solution for equations with given initial and boundary value is obtained. Furthermore, results of corresponding references are generalized.

Nonhomogenous Schrdinger equation; Hartree type nonlinearity; Priori estimation; Fixed point theory

O175.23

A

2095-4476(2015)11-0015-04

2015-08-26

湖北省教育厅科学技术研究计划重点项目(D20142602)

丁 凌(1975— ), 女, 湖北襄阳人, 湖北文理学院数学与计算机科学学院副教授, 博士, 主要研究方向: 偏微分方程.

(责任编辑：饶 超)