基于有限时间收敛ESO的四旋翼无人机控制

王世峰，赵党军



基于有限时间收敛ESO的四旋翼无人机控制

王世峰1, 2，赵党军3

(1. 华中科技大学光学与电子信息学院，湖北武汉，430074；2. 湖南工业职业技术学院电气工程系，湖南长沙，410208；3. 中南大学航空航天学院，湖南长沙，410083)

将四旋翼无人机运动分解为6个相互解耦的单输入−单输出(single-input-single-output，SISO)系统，针对各SISO系统中存在的外部扰动和未建模动态提出一种有限时间收敛的扩张状态观测器(finite-time convergent extended state observer，FTCESO)，从系统量测输出中重构系统状态和广义扰动。在FTCESO驱动下，基于同伦方法设计具有扰动补偿的无人机位置和姿态控制系统，有效抑制了系统不确定性、气动未建模动态、外部持续和时变扰动。

四旋翼无人机；有限时间收敛；扩张状态观测器；同伦方法

近年来，四旋翼无人机(quad-rotor vehicle，QRV)因其结构简单且具垂直起降能力而获得广泛关注[1]。QRV具有时变和非线性的特点，此外QRV受气动扰动、系统中参数不确定性以及不可避免的未建模动态影响，因此，QRV系统是一种本质不稳定的欠驱动机电系统。要实现QRV系统的高性能控制，必须采取一些强鲁棒性方法来有效抑制系统中各种不确定性和降低未建模动态的影响。传统上的QRV运动控制系统通常被分解为线运动和旋转运动2个子系统，分别设计相应的控制器从而达到轨迹跟踪和姿态稳定的目的：Bouabdallah等[2]分别采用精确线性化技术和动态逆方法设计了外环制导控制和内环姿态稳定控制系统；Zuo等[3]将传统的PID(proportional-integral-differential)方法用于轨迹跟踪控制以获得姿态角指令，并对该姿态角指令进行滤波，然后利用反演(back-stepping)控制技术获得了较好的姿态稳定控制效果；Raffo等[4]提出采用标准反演控制策略进行线运动控制，同时采用方法设计了姿态稳定控制器，该方法能够较好地抑制外部扰动和参数不确定性的影响，但对姿态运动中的持续扰动无能为力。为克服这一缺陷，Raffo等[5]提出了一种预测控制/非线性控制集成控制策略，有效抑制了持续扰动。上述方法均将QRV控制分解为旋转运动控制和线运动控制2个子系统，整个飞行控制系统结构复杂，难以在实际飞控中实现，因此，近年来也出现了一些简洁的控制方案，如：Besnard等[6]利用滑模观测器驱动滑模控制器进行QRV飞行控制系统设计；Liu等[7]提出带干扰观测器的显式模型预测方法；另外诸如闭环最优控制[8]及智能控制技术[9]等都被用于QRV的飞行控制之中。尽管飞行仿真或工程实验已经证实这些方法行之有效，但它们对于系统精确模型的依赖，使设计过程中需要建立精确的气动模型，这对小型无人机而言成本会急剧增加。Wang等[10]在连续有限时间微分跟踪器的基础上，针对一类SISO系统利用超螺旋算法提出一种有限时间收敛的扩张状态观测器FTCESO，从系统输出中获得状态和广义扰动[11−12]的观测信息。为减少对精确模型的依赖，同时提高系统在存在各种不确定性扰动时的控制性能，本文作者提出一种基于FTCESO的同伦控制策略。在有限时间收敛的同伦控制器中引入扰动补偿，提高了系统抗扰动能力。

1 预备知识

1.1 定义和引理

定义1 (homogeneity[13−14]) 考虑如下非线性系统：

引理1[15]若非线性系统(式(1))对伸缩因子族(1,2, …,r)是度同伦的，且有渐近稳定平衡点, 则系统(1)是全局有限时间稳定的。

引理2[14]考虑非线性系统(式(1))，若存在连续正定函数使

(3)

1.2 QRV数学模型

本文重点讨论如图1所示的小型QRV的飞行控制问题。为描述QRV的刚体运动方程，定义惯性坐标系和机体坐标系1111，其中11指向飞行方向，11在机体水平面内垂直于11，11垂直于111平面指向上方。QRV的姿态角由欧拉角，和表示，分别代表滚转角、俯仰角和偏航角。由机体坐标系到惯性坐标系的旋转矩阵定义为

图1 QRV结构与坐标系定义

Fig. 1 QRV structure and reference frame definition

式中：为QRV质量；为当地重力加速度；为机体坐标系中沿方向的总推力；和分别为气动扰动和外部扰动。

QRV刚体旋转动力学方程为

(7)

其中：

结合式(5)~ (7)，QRV运动可以用如下标量方程来描述：

(8)

2 基于FTCESO的同伦控制

为实现QRV的飞行控制，首先考虑如下具有外部扰动的SISO系统：

假设1[16]：对SISO系统(式(9))的任意可行解，广义扰动()一致有界，且其对时间的导数有界，即。

2.1 FTCESO

扩张状态观测器(ESO)技术由韩京清首先提出[17]，是其自抗扰控制理论的基础。标准ESO具有如下形式：

(11)

SISO系统(式(9))可以改写为

(13)

定理1 对有限时间收敛扩张状态观测器(11)，若SISO系统(式(9))满足假设1，则存在常数1，2和3(1＞0，2＞0，3＞0)，t＞0以及0＜＜1使

在有限时间t内满足。其中：表示的奇异值；，，且

，

选择合适参数1，2和3使，从而使得观测器误差在有限时间内变得充分小。

证明 构造强鲁棒性Lyapunov函数

容易证实

故

(17)

(18)

由式(15)得

(20)

(22)

这里状态相关矩阵可以写为

(24)

对非奇异矩阵有

由于1为对角阵，且为的非负减函数，故

(26)

则有如下不等式成立：

(28)

选择合适的参数1，2和3使＞0，即＞，此时＜0必然成立。结合式(21)，(22)和(28)有

根据引理2，误差系统(式(13))在有限时间

(30)

(31)

若不等式

(33)

(35)

2.2 控制律

本文在文献[13]所提同伦控制方法的基础上，基于FTCESO所获得的广义扰动估计，引入扰动补偿，提高了控制器对模型不确定性的抑制能力。

定理2 要使SISO系统(式(9))输出跟踪参考输出y，设y具有有界的一阶和二阶导数，若控制律设计为

证明：将控制律(式(36))代入式(9)得

(37)

(39)

接下来验证标称系统有限时间稳定。

构造Lyapunov函数：

(41)

(42)

这表明标称系统(式(40))是Lyapunov稳定的。1为不增函数，，即和在＞0时是有界的，因此，对是一致连续的；同时，对时间也是一致连续的，因此，也是一致连续(具体证明见文献[13]的附录A)。根据Barbalat引理有，即当时。

其中：

由于标称系统(式(40))是全局有限时间收敛的，因此，必然在有限时间进入；之后由于和分别是和的减函数，逐渐增加，于是收敛域半径进一步减小，因此，会在有限时间内收敛至一个很小的区域。若和足够大，则该半径足够小，即会足够小，于是，跟踪误差在有限时间内满足。证毕。

3 基于FTCESO的QRV控制

为将前面所提的控制方案应用至小型QRV的控制之中，需要通过构造虚拟输入将QRV运动方程(式(8))分解为一系列解耦二阶系统。QRV控制系统包括外环轨迹跟踪控制和内环姿态稳定控制2个部分。整体控制系统结构框图如图2所示，其中参考轨迹和及其一阶和二阶微分信号由轨迹规划算法离线产生。

图2 基于FTCESO的QRV控制系统结构

3.1 轨迹跟踪控制

为方便设计，改写QRV运动方程(式(8))中线运动部分为

其中：

;

虚拟控制的引入使式(46)成为1个解耦系统。显然，在QRV的任意可行飞行包线内，时间映射函数(即广义扰动)是有界的，且满足假设1。因此,对每个解耦后的SISO系统可以设计FTCESO如下：

(47)

；

3.2 姿态稳定控制

与式(46)类似，改写姿态运动方程为

其中：

相应地，3个独立的FTCESO设计为

4 仿真实验

仿真实验针对精确模型(式(8))进行，仿真中考虑了气动扰动、外部扰动和参数扰动。采用4阶龙格−库塔算法求解精确模型(式(8))，步长为0.005 s。QRV各系统参数见表1。

表1 QRV模型参数

FTCESO(式(47))和式(51)参数一致，设置为1=25，2=840，3=950，。轨迹跟踪控制器(式(48))中参数：，，推力上限N。姿态控制器(式(52))中参数设置为：，，。

仿真考虑跟踪三维空间中的圆轨迹，即

；rad

为表明本文所提方法的鲁棒性，质量和转动惯量J，J和J分别引入的参数摄动。

图3所示为标称情况和参数摄动情况下QRV跟踪给定轨迹在三维空间中的运行轨线，图4所示为位置跟踪误差曲线。从图4可见：位置跟踪误差迅速减小至0 m附近，即使在有扰动存在下也能迅速收敛。图5所示为由外环制导控制器所产生的姿态角指令和实际飞行姿态曲线，图6所示为在有参数摄动和外部扰动情况下的姿态角跟踪误差曲线。从图5和图6可见： 3个通道的姿态误差均不超过0.2 rad，并且在稳定后，误差能迅速收敛至0 m附近。图7和图8所示分别为标称情况下QRV总推力曲线和3个通道的控制力矩曲线，显然需要的推力和力矩均满足QRV动力系统实际约束条件。仿真实验结果表明本文所提方法行之有效。

1—参数摄动−30%；2—标称；3—参数摄动+30%

(a) ex; (b) ey; (c) ez

(a) f; (b) θ; (c) ψ

(a) ef; (b) eθ; (c) eψ

图7 标称情况下总推力曲线

1—τf; 2—τθ; 3—τψ

5 结论

1) 对于存在未建模动态和外部扰动以及参数摄动的SISO系统，采用FTCESO从输出中重构系统状态和广义扰动可行，其中广义扰动包含系统各种不确定性。在对系统状态和扰动观测的基础上，设计带有扰动补偿的同伦控制器，使系统输出能快速跟踪指令信号，且跟踪误差能在有限时间内收敛至包含原点的小邻域内。

2) 在QRV气动参数未知且有外部扰动和参数摄动情况下，通过引入虚拟控制量，将QRV运动方程分解为6个独立的SISO系统，利用FTCESO技术从系统输出和量测输出中获得系统状态和广义扰动的估计。在FTCESO驱动下，同伦控制器能使系统保持姿态稳定，同时跟踪给定的飞行轨线。本文所提方法能够有效抑制未建模动态、外部扰动和参数摄动所带来的影响，且制导控制器和姿态稳定控制器具有相同结构，简化了控制系统设计。

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Quad-rotor vehicle control based on finite-time convergent ESO

WANG Shifeng1, 2, ZHAO Dangjun3

(1. School of Optical and Electronic Information, Huazhong University of Science & Technology, Wuhan 430074, China;2. Department of Electrical Engineering, Hunan Industry Polytechnic, Changsha 410208, China;3. School of Astronautics and Aeronautics, Central South University, Changsha 410083, China)

The motion of a quad-rotor vehicle was decomposed into 6 decoupled single-input-single-output(SISO) systems. For disturbances and unmodeled dynamics existing in each SISO system, a finite-time convergent extended state observer (FTCESO) was proposed for the reconstruction of system states and generalized disturbances from measured output signals. Driven by FTCESOs, improved homogenous controllers with disturbance compensations for trajectory tracking and attitude stabilization were designed. Convincing simulations reveal that the proposed method can efficiently accommodate system uncertainties, unmodeled aerodynamics, sustained and time-varying external disturbances.

quad-rotor vehicle; finite-time convergent; extended state observer; homogeneous method

10.11817/j.issn.1672-7207.2015.07.016

TP13

A

1672−7207(2015)07−2494−10

2014−07−23；

2014−10−02

湖南省自然科学基金资助项目(14JJ3024) (Project(14JJ3024) supported by the Natural Science Foundation of Hunan Province)

赵党军，博士，讲师，从事飞行器制导与控制研究；E-mail: zhao_dj@csu.edu.cn

(编辑 刘锦伟)