加权平方损失函数下几何分布函数的可靠度Bayes估计

摘 要】在加权平方损失函数下，给出了对于任何先验分布的几何分布可靠度的Bayes估计，同时在其先验分布为幂分布时研究了可靠度的Bayes估计及其容性，给出了可靠度的多层Bayes估计的计算公式。

【关键词】几何分布；加权平方损失函数；可靠度；Bayes估计

许多寿命离散型产品，其分布大都服从几何分布，因此对几何分布的可靠性分析具有理论和实际应用价值。文献[4]和[5]在研究了在熵损失函数下几何分布可靠度的多层Bayes估计和截尾Bayes估计，文献[1]研究在新的加权平方损失函数下几何分布的Bayes可靠性估计本文则研究了一类新的加权平方损失函数下几何分布分布可靠度的多层Bayes估计。

在贝努里实验中，若p为每次实验成功的概率（可靠度），如果进行了k+1次试验，前k次实验成功且第k+1次不成功（或失败）的概率为：

P（？灼=k）=P k（1-p），k=0，1，2，…，0，

称随机变量？灼服从几何分布[s]，其中p为几何分布的可靠度（或成功概率）。

1 加权平方损失函数的定义

定义1 随机变量X服从密度函数为f（？兹，X）的分布，其中？兹为参数，如果？啄是？兹的判决空间中的一个估计，则定义这样的一个函数：

L（？啄，？兹）=（？啄-？兹）2/？兹（1-？兹）（2）

为加权平方损失函数[1]。

2 p的Bayes估计

定理1 在加权平方损失函数（2）下，对任何的先验分布？仔（？兹），？兹的Bayes估计为

并且如果？啄B（x）的Bayes风险有限，则？啄B（x）是唯一的Bayes估计。

当p的先验分布为幂分布，其密度函数为：？仔（p|a）=apa-1，其中00（为超参数）[2]，则p的先验分布为：

后验分布服从贝塔分布，其分布为：

则，在加权平方损失函数下p的Bayes估计为：

其中，0

定理2 对几何分布，在p的多层先验分布有（3）给出，则在加权平方损失函数下，p的多层Bayes估计为：

证明：p的多层先验分布有（3）给出，则p的似然函数为L（p）=px（1-p），则p的后验密度为：

其中0

其中：

引理1 [3]在给定的Bayes决策问题中，假如对给定的先验分布？仔（？兹），？兹的Bayes估计是？啄（X）唯一的，则它是容许估计。

定理3 在加权平方损失函数下，对任一先验分布，几何分布的参数？兹的Bayes估计？啄（X）是可容许估计。

证明：对于几何分布，由于加权平方损失函数下（2）是严格凸函数，其参数？兹的Bayes估计必是唯一的，引理1可知，参数的？兹的Bayes估计？啄（X）是可容许估计。

【参考文献】

[1]李兰平.一类新的加权平方损失函数下几何分布的Bayes估计[J].方法应用，2012，11：81-82.

[2]韩明，催玉萍.几何分布的可靠度估计[J].运筹与管理，2001，（下转第76页）（上接第20页）10（4）：35-38.

[3]茆诗松.贝叶斯统计[M].北京：中国统计出版社，1999，3.

[4]周伟萍，张德然，杨兴琼.熵损失函数下几何分布参数的Bayes估计[J].山西师范大学学报：自然科学版，2007，21（4）：13-15.

[5]熊常伟，张德然，张怡.熵损失函数下几何分布参数的Bayes估计[J].数理统计与管理，2008，27（1）：82-86.

[责任编辑：邓丽丽]