数据的集中趋势和离散程度的“病理档案”

尹平

在学习数据的集中趋势和离散程度的过程中，同学们经常会犯一些错误，现将相关典型错题整理如下，希望同学们能认真用好这些资源.

一、 “算”错平均数，错把算术平均数当加权平均数

例1 以下是某校九年级10名同学参加学校演讲比赛的成绩统计表：

则这组数据的平均数为（ ）.

A. 90 B. 89 C. 88 D. 87.5

【错误解答】==87.5，故选D.

【错因诊断】平均数作为“一般水平”的代表，反映的是一组数据中各个数据的平均大小.一般地，若n个不同的数x1，x2，…，xn的权分别是w1，w2，…，wn，则=，叫作这n个数的加权平均数.本题并不是只有80，85，90，95这四个数据，而是由1个80、2个85、5个90和2个95组成的10个数据，将1、2、5、2分别作为80、85、90、95的权，利用加权平均数的计算方法进行计算.

【正确解答】==89，所以选B.

二、 “排”错中位数，错把无序当有序

例2 一组数据如下：3，6，7，2，3，4，3，

6，那么这组数据的中位数是（ ）.

A. 2.5 B. 3.5 C. 2或3 D. 3或4

【错误解答】因为共有8个数据，最中间两个2和3的平均数为2.5，故选A.

【错因诊断】中位数是将数据按大小顺序依次排列（即使相等的数也应全部参加排序）后“排”出来的.当数据的个数是奇数时，中位数就是最中间的那个数；当数据的个数是偶数时，中间是空的，所以要将“最中间”的两个数的平均数作为中位数.所以无论一组数据有多少个数，它的中位数只有一个.

【正确解答】将原数据从小到大排列为：2，3，3，3，4，6，6，7，共8个数据，所以中位数是=3.5，故选择B.

三、 “数”错众数

（一） 错把某数出现的次数当作众数

例3 （2014·湖北武汉）在一次中学生田径运动会上，参加跳高的15名运动员的成绩如下表所示：

那么这些运动员跳高成绩的众数是（ ）.

A. 4 B. 1.75 C. 1.70 D. 1.65

【错误解答】1.65一共出现了4次，所以众数为4，故选A.

【错因诊断】众数是一组数据中出现次数最多的数据，一组数据的众数可能不止一个.对于众数来说，在理解上要明确出现次数最多的那个数据，而不是出现的次数，也不是这组数据中最大的那个数据.本题研究对象是运动员的成绩，所以众数应围绕运动员的成绩.

【正确解答】这15个数据中出现次数最多的数据是1.65，一共出现了4次，所以众数是1.65，故选择答案D .

（二） 错以为众数是唯一的

例4 在一次数学竞赛中，10名学生的成绩（单位：分）如下：75，80，70，80，85，70，

95，60，70，80，则这组数据的众数是_______.

【错误解答】80.

【错因诊断】众数是一组数据中出现次数最多的那个数据.作为一组数据的代表，众数是“数”出来的，所以有时候一组数据中的众数有可能不止一个.

【正确解答】本题数据中的80和70都出现3次，所以这组数据的众数是80和70.

四、 求极差时漏解

例5 （2014·江苏扬州）若一组数据-1，

0，2，4，x的极差为7，则x的值是（ ）.

A. -3 B. 6 C. 7 D. 6或-3

【错误解答】A.

【错因诊断】极差是一组数据中最大数据与最小数据之差.在这组数据中，x可能是最大数，也可能是最小数，因此x的值就有两种可能，需要分类讨论.

【正确解答】分两种情况讨论：（1） 若x是最大数，最小数为-1，则x=-1+7=6；（2） 若x是最小数，最大数为4，则x=4-7=-3.因此x的值为6或-3，故选择D.

五、 忘了方差定义

例6 一组数据的方差为s2，将这组数据中的每个数据都除以4，所得新数据的方差是_______.

【错误解答】s2.

【错因诊断】方差是反映一组数据波动情况的统计数据，其大小与数据本身的大小无关，可能一组数据比较小，但方差比较大，也有可能一组数据比较大，但方差较小.本题原有每个数据都除以4，忽视方差公式的构成，直接就错认为方差也除以4.

【正确解答】设原有一组数据为x1，x2，…，xn，平均数是，方差是s2，那么一组新数据x1，x2，…，xn的平均数是x1+

x2+…+xn=（x1+x2+…+xn）=，方差是x1- 2+x2- 2+ …

+xn-2=2[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]=s2.

相信通过以上错误解答、错因诊断，同学们会汲取教训，构建好防护墙，增强解题的“免疫力”，从而巩固“三数两差”这一章的相关知识点，确保不失分！

小试身手

1. 一组数据-2，0，-3，-2，-3，1，x的众数是-3，则这组数据的中位数是（ ）.

A. -3 B. -2 C. 1 D. 0

2. 一组数据：1，2，1，0，2，a，若它们的众数为1，则这组数据的平均数为_______.

3. 某中学随机调查了15名学生，了解他们一周在校参加体育锻炼的时间，列表如下：

则这15名同学一周在校参加体育锻炼的时间的中位数和众数分别为（ ）.

A. 6，7 B. 7，7

C. 7，6 D. 6，6

4. 已知A样本的数据如下：72，73，76，

76，77，78，78，78，B样本的数据恰好是A样本数据每个都加2，则A、B两个样本的下列统计量对应相同的是（ ）.

A. 平均数 B. 标准差

C. 中位数 D. 众数

5. 某人在5次打靶测试中命中的环数如下：

5，9，7，10，9.

（1） 计算此人打靶成绩的方差_______.

（2） 如果他再射击1次，命中8环，那么他射击成绩的方差_______.（填“变大”、“变小”或“不变”）

答案：

1. B 2. 3. D 4. B 5. 3.2 变小

（作者单位：江苏省海门市正余初级中学）