聚焦数形寻突破建立模型巧解题

张伟俊

一、 试题呈现

（2015·江苏常州）如图1，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是________.

二、 解法探究

本题以圆为载体，隐含角平分线、等腰三角形等基本图形.根据已知条件易得AC平分∠BAD，BC=DC，∠BCD=120°等结论.要求AC的长，很多同学感到束手无策，其主要原因在于无法应用已知条件实现角度、线段之间的相互转化.

1. 巧借几何直观，联想已有模型

【思路突破】根据“点C为弧BD的中点”可知：AC平分∠BAD，且BC=DC.由此可以联想到：点C到AB、AD两边的距离相等，进而想到过点C分别向AB、AD边作垂线，构造全等三角形和直角三角形解决问题.

【解题过程】如图2，过点C分别向AB、AD边作垂线，垂足分别为P、Q.

【模型建构】通过以上的探究，我们可以进一步提炼关于角平分线的一个几何模型，即以角平分线上的一点为圆心画圆与角的两边相交于四点的几何模型.如图3，AP平分∠MAN，C为AP上的一点，以C为圆心画⊙C，分别交AM于点B、D，交AN于点E、F.连接CB、CD、CE、CF，过点C分别向AM、AN边作垂线，垂足分别为G、H.由此可得：△ACG≌△ACH，△CBG≌△CDG≌△CEH≌△CFH，△ACB≌△ACE，△ACD≌△ACF. 上述的全等三角形你能证明吗？由此你能得到哪些结论呢？

2. 抓住数量关系，建构几何模型

【思路突破】根据“点C为弧BD的中点”可知BC=DC，由此想到：连接BD，形成等腰三角形BCD.又由“四边形ABCD是⊙O的内接四边形”得到∠BCD=120°，从而可得到△BCD的三边之比为1∶1∶.于是产生建立⊙O的内接四边形ABCD的四条边以及两条对角线之间的数量关系的想法.

【解题过程】如图4，连接BD交AC于点E.∵点C为弧BD的中点，∴弧BC=弧DC，

【模型建构】根据以上探究发现，圆内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.这个结论能否推广到任意的圆内接四边形呢？如图6，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB·CD+BC·AD=AC·BD还成立吗？受到上述探究的启发，我们尝试借助三角形相似来解决.在AC上取一点E，使∠EDC=∠ADB.

由①+②得AB·CD+BC·AD=BD·CE+BD·AE=BD·（CE+AE）=AC·BD.从而说明在一般情况下“圆内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积”也是成立的.事实上，这个结论就是数学上著名的托勒密定理.

（作者单位：江苏省常州市武进区湖塘实验中学）