历史上的相似三角形

吕爱生

相似三角形知识有着悠久的历史，为我们数学学习提供了丰富的材料. 在不同文明的不同历史时期，相似三角形在测量上都曾有着重要的应用，本文将介绍这方面有关的几则历史故事.

“图形的相似”是初中数学的内容之一，相似三角形的判定、性质和应用是其中最重要的内容，从历史上看，相似三角形很早就已经为人们所认识. 大约公元前20世纪，在古巴比伦泥版文献中就已经出现相似三角形的应用问题；公元前6世纪，古希腊的工程师欧帕里诺斯在设计隧道挖掘工程时就可能运用了相似三角形的性质；古希腊几何学的鼻祖泰勒斯曾多次利用相似三角形的性质来解决相关测量问题；我国古代数学著作《九章算术》中的远距离测量技术也是以相似三角形的性质为基础的. 下面来讲些实例.

我国明末清初时的“梅氏数学家家族”祖孙四代人，共有十多位数学家. 其主要代表人物是梅文鼎和他的孙子梅珏成.

这里有一则关于梅珏成的记载：一天，他外出游玩时，看见路边有几个农民正在测量一块直角三角形形状的田地. 他就走过去，询问起来. 原来这几个农民想在这块直角三角形田上砌一个正方形的池子，并要求这个正方形的面积尽可能大.

梅珏成问明了两个测量出来的数字（一条直角边长24米，另一条直角边长10尺）以后，说：“这很简单，只要设所求的正方形边长为x，利用两个相似三角形的对应边成比例关系，即可得：24∶x=10∶（10-x），x=（尺），即为所求. ”

几个农民听完后，连声称赞道：“先生真了不起！我们对算术可是一窍不通. ”亲爱的同学，你可听明白了梅珏成的话没有？

我国《九章算术》勾股章有如下两道问题，你能写出解题过程吗？

例1 今有邑方二百步，各开中门.出东门一十五步有木.问：出南门几何步而见木？（如图1）

例2 今有井径五尺，不知其深.立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸. 问：井深几何？（如图2）

古希腊几何学的鼻祖泰勒斯年轻时游历埃及，测得金字塔的高度.请你复原泰勒斯的测量方法.（参见图3）

古希腊第八大岛屿——萨默斯岛上有一条修建于公元前6世纪的供水萨默斯隧道，如图4，隧道长1 036米，横截面宽和高各为1.8米，笔直地穿过了一座小山.为了缩短建成时间，设计者欧帕里诺斯让工程队从小山两边同时开始挖掘，两队在山体中间会合.

试想，在2500多年前，没有任何现代化的仪器，如何保证两支工程队不偏不倚正好在山底的某处相遇？令人惊叹的是，欧帕里诺斯做到了，隧道一线贯通，两支工程队会合得天衣无缝.他是怎么做到的呢？与我们所学的相似三角形有什么关系呢？你想知道其中的奥秘吗？

欧帕里诺斯实质是聪明地运用了相似三角形知识（定义、判定定理），保证了四点共线，才创造了一个水利工程奇迹.

他是这样解决这个问题的：要在两个入口A与B之间挖一条隧道. 从B点处出发任作一直线段BC，过C作BC的垂线CD，然后，依次作垂线DE、EF、FG、GJ，直至接近A点. 在每一条线段的一个端点处能看到另一个端点. 在最后一条垂线GJ上选取点J，使得AJ垂直GJ. 设AK为CB的垂线，K为垂足，则AK=CD-EF-GJ，BK=DE+FG-BC-AJ. 再在BC和AJ上分别取点L和点N，过点L和点N分别作BC和AJ的垂线，在两垂线上分别取点M和点P，使得，于是有Rt△BLM、Rt△BKA、Rt△ANP为一组相似三角形，因此，点P、A、B、M在一条直线上. 所以，只需保证在隧道挖掘过程中，工人始终能看见点P和点M的标识即可.

实际上，像这样的生活奇迹有很多，创造者都是那些爱动脑筋、善于思考的人，希望同学们能像他们那样，将学习融入生活，将生活看作学习.

（作者单位：江苏省建湖县城南实验初中教育集团近湖校区）