旋转的铅笔

宋阳光

要说最有趣的教科书，非数学书莫属了！在这里，你不仅可以看到各式各类的问题，可以找到各种各样与生活相关的案例.因此，闲暇时光，我喜欢抱着数学书琢磨.比如在《平面图形的认知（二）》中有这么一个问题：

如图，铅笔放置在△ABC的边AB上，笔尖方向为点A到点B的方向.把铅笔依次绕点A、点C、点B按逆时针方向旋转∠A、∠B、∠C的度数，笔尖方向发生了怎样的变化？这种变化说明了什么？

这个题目大家肯定都做过吧，按要求转动后，铅笔的笔尖向左了，也就是和原来的笔尖方向是相反的，铅笔旋转了一个平角度数，即180°.在这个变化过程说明，铅笔连续转动的∠A、∠B、∠C的度数和是180°，也就是说明了三角形的内角和是180°.

只要动动铅笔，数学问题就能解决，是不是很有趣？和大家再分享两个类似的问题.

面对这个问题，许多人的第一反应便是考虑多边形的内角和、外角和一步步推导，肯定会很麻烦，因此我们可以尝试使用上面旋转铅笔的方法.

答：（1）我们以逆时针方向来转动铅笔.首先，如下图从x的地方开始逆时针转动，就会到达一个新的边上.然后，将铅笔移到此边的另一端再逆时针转动40°，就会移到另一个新的边上.在此边的另一端再逆时针转动50°，如此下去接着逆时针转动40°、30°，最后就会回到原来的边上.此时铅笔转动的方向与原来的方向是相反的.也就是说，铅笔刚好转动了半圈.因此，把刚刚转动的所有角度加起来，就正好是180°.

借这个有趣的方法，就可得到x = 180°-40°-40°-50°-30°=20°.

（2）下图中由A边转到B边的y的转动角度，以左侧锯齿状的部分来表示.

保持A的方向不变，往上移动.然后如①做转动，接着往下移动，然后做②的转动……最后就如⑤做转动，就会变为跟B同样方向.也就是说，由A到B转动的角度，与动作①到⑤的转动角度是相同的.把逆时针方向记为正角度，顺时针方向记为负角度，那么y=110°+55°-（40°+65°+20°）=40°

利用这个原理，我们还可以轻松验证“多边形外角和为360°”的定理，并由此推出正多边形的外角、内角……诸如此类，凡是与多边形角度有关的问题，“旋转铅笔”这个方法都可以或多或少的帮助你.

是不是很奇妙？当你的铅笔无法在推导公式上延续，不妨旋转你的铅笔，说不定你忠实的双手会告诉你准确的答案.

旋转铅笔的妙用，就是在你面对求多边形角度的问题的时候，可以省却漫长的推导，在理清楚步骤之后便可轻松解决.

若想在数学的海洋畅游，不仅需要先辈留给你的各种定理、工具，更需要你的使用和创造.记住，善用你的双手是另一条通往成功的道路！

（指导老师：浦长宇）