化斜为直巧解斜三角形

海婷

在初中数学综合复习中，通过各地近几年的中考试题，综合题中出现了一些关于解斜三角形的数学问题，而解这类问题的关键是进行转化斜三角形，转化的主要手段是运用“化斜为直”的数学思想方法，即在斜三角形中仔细观察图形的特征，通过作辅助线把斜三角形恰当构造出直角三角形.涉及特殊角常常需把特殊角放在直角三角形中，再利用勾股定理和三角函数解直角三角形知识即可解决.

针对斜三角形或不规则四边形化归为直角三角形，可采用解直角三角形的知识解决的方法.试举下面两道例题。

例1：已知：如图，△ABC中，∠B=90°，∠C=45°，点D是BC的中点，求∠DAC的正弦值.

探究过程：通过已知条件和图形可知∠DAC在斜三角形△DAC中，要想求∠DAC的正弦值，必须将∠DAC放在直角三角形中，在直角三角形中计算出∠DAC所对的边和斜边或对边和斜边得比值.而直角三角形中的边边关系、角角关系、边角关系是解直角三角形的依据，它们只有在直角三角形中才成立，因此要想用它们解斜三角形，必须把斜三角形转化为直角三角形，转化的方法一般是作高辅助线，如图可以作DE⊥AC于E，才能使特殊的角∠DAC放在直角三角形中.这样构造例2：如图，在△ABC中，∠A=30°，E为AC上一点，且AE：EC=1：3，EF⊥AB于F，求tan∠CFB.

探究过程：通过已知条件和图形可知∠CFB.在斜三角形CFB中，要想求tan∠CFB值，必须将∠CFB这个特殊的角放在直角三角形中求出DC与DF，或者在另外的直角三角形找出与∠CFB相等的角，根据题目已知条件找不到与∠CFB相等的角，这就需要构造∠CFB所在的直角三角形，通过点C作CD⊥AB于D，构造了两个直角三角形Rt△ADC和Rt△CFD，

只需求出DC和FD，令AE=a，EC=3a，AC=4a，DC=ACsin∠A=2a，

解题过程：设AE=a，则EC=3a，AC=4a.过点C作CD⊥AB于D

探究评析：通过以上两例求斜三角形中角的三角函数，发现“化斜为直”是运用解直角三角形的知识解斜三角形的根本方法，其做法是通过作斜三角形的一条高，把斜三角形构造为直角三角形，再根据条件分别在直角三角形中做文章.如果在已知条件中没有给定线段的具体值时往往设某一线段为常数，计算起来比较简单，就会收到化难为易、事半功倍的效果.