高中数学关于探索型问题的几点思考

刘同仁

摘 要： 高中数学中的探索型问题又叫开放型题，是新课标标准背景下数学高考的热点之一，所占比例呈逐年上升趋势，这使此种题目受关注程度大幅提高.探索型问题因为没有完备的条件或者没有确定结论，命题形式比较新颖，自由度较大，需要对题目里给出的各个信息认真观察、分析、概括、猜想，得出相应的结论并给出正确的证明，解决这类问题，涉及的知识面广，对学生运用数学思想方法分析问题、解决问题的能力有较高要求.本文针对这类题目给出了简要说明，不足之处，敬请各位指教.

关键词： 高中数学 探索型问题 解决方法

通常情况下，有些题目只有已知，然而无确定结果，有的无明确结论，要靠解题的人运用查看、研究、总结出结果；又或知道了题目的确定结果，可是已知不充分或不知道，要靠探索人觅求充足的已知条件再给出合理解释，这样的题目被称做开放型问题.已知不充分及没有明确结果是这种题目的普遍特点.探索型问题在数学高考试题里比重较大，而且呈现出上升的势头，使此种题目日益受到重视.因为探索中所占题目自身的特点，解答这类题目，涉及的知识面广泛，对考生通过数学思维方式考虑问题、处理问题的能力有较高需求.伴随提高学生能力的思想在我国的大力推进，提高学生数学水平成为教学的重点，从而开放型题目就成为增强考生的开创意识，提升数学思想水平、理解题目及处理题目水平的理想题目.在考试里普遍存在的开放型题目，从出题特征的角度，可分为条件探索型、结果探索型、存在性探索型、完全探索型等，下面对这几种题目分别作分析.

一、条件探索型问题

此种题目的特点就是对某个明确的结果来说，已知不确定需要研究，或者已知的增加或减少需要明确，抑或是需要确定已知是否正确.解答此种题目的方式就是从结果入手探寻已知，先找出使结果正确必须具备的前提，然后经过验证寻求使结果正确的具有充分性的理由.这种探索型的问题，在高中数学学习中最常见，是深入开展探索型问题学习的基础，也是培养高中生探究意识、创新能力的有效途径与载体.

例1：若函数f（x）=αsin（-x）-bcos（x-），（ab≠0）为奇函数，（a，b）可以为（？摇？摇）.这道题目就是典型的条件探索型问题，它的结论明确即函数是奇函数，需要找出使得结论成立的充分条件，我们可以把题设和结论都看作已知条件，用演绎推理的方法找出题目需要的条件.

【解析】由奇函数的定义列出关系式，展开整理可得a=b，（ab≠0），因此有序数对可以是（1，1）（2，2）…只要满足a=b，（ab≠0）的都是正确答案.由于奇函数的特殊性质，这道题又能以赋值之方法处理，即f（0）=0.

本题主要运用奇函数的性质及三角函数和差角的正余弦公式，通过计算和验证，找出问题的答案，这就是条件探索型题目的常用解决方法.

二、结论探索型问题

这类题目的特点是已知确定但是无结果，或者是结果是否正确要求答题人判断.处理此种题目的方式就是通过研究结果，然后对结果进行证明.也就是解决问题时通常以特例情况为切入点，运用查看、研究、整理、辨析等手段先猜想出一个结论，然后进行普遍情况的研究和论证.

例2：已知函数f（x）=x++αlnx（x>0），（1）若f（x）在[1，+∞）上为增函数，确定α的范围；（2）如果函数y=f（x）在区间D上有意义，并且在该区间内任取的两个数x、x以下不等式[f（x）+f（x）]≥f（）都成立，就说函数y=f（x）是区间D上的“凹函数”.当a≤0时，试分析f（x）是不是“凹函数”，就你的分析给出证明.这道题目就是结论探索型问题，它的条件很明确，给出了凹函数的定义，需要解题者探索结论，我们可以通过分析、计算、归纳，判断等手段找出结论并加以证明.

【解析】（1）由题意可得，要使函数在[1，+∞）上单调递增，必须使导函数大于零在指定区间恒成立，通过整理可以找出a要满足的关系.a需大于其最大值，由单调性可知其最大值为零，所以a≥0；（2）证明：由题目中给出的已知条件及均值定理相关知识可以得出满足凹函数定义的关系式，由题可得此函数是凹函数.

这类结论探索型题目，需要解题者能够灵活运用数学知识，从题目的情境中研究探索结论，对于培养高中生思维的灵活性大有裨益.

三、探究是否存在题型

这类题目的特点是以结果存在为前提，判断寻求的结果存在与否.

例3：假设A是x=1上一动点，直线l经过点A且和x轴互相垂直，l与x轴的交点为D，M为直线l上一点，并且|DM|=m|DA|（m>0，且m≠1）.A点在圆上运动时，点M的运动轨迹为C.（1）求C的方程，指出C是哪类圆锥曲线，求焦点；（2）经过坐标原点并且斜率是k的直线和C相交于点P，Q，当中点P位于第一象限，且在y轴的投影是点N，直线QN与C相交于H.能否有m，能对所有的k>0，全有PQ⊥PH？如果有，求出m；如果没有，说出原因.这道题目要找m的值是否存在，我们可以先假设有这样的m，然后通过一系列计算推理，得出要找的结论.

【解析】（1）根据题设分析关系，列出方程计算整理得到A点横坐标及纵坐标的表达式，因为A点在单位圆上运动，把它代入单位圆方程可得要求C的方程得到点M所满足关系式，从而根据所学知识对它的轨迹进行具体描述.

（2）解法1：设出直线QN的斜截式方程，把它代入曲线C化简得出一个关于x的一元二次方程，根据题目找出这个方程的解，并根据根与系数的关系整理可得点H横坐标.因为点H在直线QN上，所以列出关系式，得到对应向量坐标，再利用向量垂直数量积是0得到的值，所以存在m，能使在它相应的圆锥曲线上，对所有的k>0，全有PQ⊥PH.

解法2：由于P，H这两个点都在曲线C上，因此它们都满足曲线方程.两个式子相减可以得出坐标间的关系式，根据题目已知条件，依据点P在第一象限可以得出，该点H也落于第一象限内，而且P，H这两个点并不重合，于是可得，再根据两直线平行斜率相等，垂直斜率之积等于-1可以通过计算得出m的值，所以存在m，能使在它相应的圆锥曲线x=1上，对所有的k>0，全有PQ⊥PH.

这道题目考点是求轨迹、直线和椭圆的相互位置及两条直线互相垂直或两个向量互相垂直的充分必要条件，这种存在性的问题，得出的结果有两个可能性：假如具有存在性，要给出合理解释；假如不具备存在性，找出相矛盾的例子解释即可.

四、全开放探索型问题

条件和结论都不完备或都不确定的是全开放型问题，解决这种问题的方法也是开放型的，解题者对题目开展非常详细具体的分析探索，才可以找出解答题目的方案.

例4：α、β为不重合的两个平面，m、n为平面α和平面β以外的两条不重合的直线，根据以下四个条件：①m⊥n，②α⊥β，③n⊥β，④m⊥α，拿其中的3个当成已知条件，剩下的一个当成问题的结果，找出正确的答案写在横线上.这道题提供了四个题设，题目让当中的3个作为已知，剩下的一个作为结果，我们可以采用列举的方法找出所有可能性一一检验.

【解析】根据题目要求能够得出全部四个命题，根据所学立体几何知识可以得出，其中哪些是正确的，哪些是不正确的.只要写出正确答案之一，此题就获得了完美解答.

这道题的已知及结果均不确定，因此该题目是一个已知和结果都不确定的完全探索型问题，它可以构成的命题不止一个，正确答案也不唯一，解题者只需找出一个符合题意的结论就可以.这种题目的处理方法也存在不确定因素.

探索型问题没有完备的条件或确定的结论，它的这一特征决定了在解决这类问题时对数学知知识的掌握，数学思想的运用，以及创造性的数学思维都有较高的要求.在解决这类题目时常用下列方法：直击目标；特殊值判断；猜想证明；数形结合……要正确解决探索性问题，不仅需要在平时的学习中注重基础知识的掌握，还要注重方法的总结及能力的培养.

参考文献：

[1]朱青锋.开放性试题呼唤开放式教学——2000年全国高考数学试题之我见.数学通报，2001（8）.

[2]贺长军.高考数学热点开放性问题浅析.数学教学通讯，2000（11）.

[3]赵春祥.填空题中的开放型问题解法评析.试题研究（高中数学），2000（20）.