记直角三角形“三边关系”的发现

陈颖萍

在复习《整式乘法与因式分解》这一章时，老师让我们思考教材第89页“小结与思考”中的第4点，完成两个直角三角形的拼图（图1），并让大家从不同角度计算这个图形的面积.

解决这道题目并不困难，不少同学说小学里就曾求过类似的面积，很快有人说出如下一些方法.

方法1：把梯形看成三个三角形的面积之和得：S梯形=ab+ab+c2；

方法2：直接计算得：S梯形=（a+b）2.

老师没有就此罢休，而是接着问我们，大家有没有进一步发现什么呢？老师的问题一抛出，教室里立即鸦雀无声，大家都陷入了思考……

我想，这两种方法计算的结果应该相等，即ab+ab+c2=（a+b）2，我悄悄地进行了化简，竟然发现这样一个等式：a2+b2=c2.

我们都举起了手，想说出这个结论，但我的同桌却说出了一个与众不同的想法，他把图1补成一个大的正方形，并指出：这个大的正方形的面积也有两种不同的表示方法.

老师让他到黑板上画出示意图（如图2），并在图旁写出这个正方形的两种面积表示方法：S=（a+b）2=4×ab+c2.

接着老师让他把两种计算方法写成连等的形式，过了一会又让他擦去“S=”. 这时黑板上就留下了“（a+b）2=4×ab+c2”.

老师：同学们能用本章的整式乘除运算将这个等式变形吗？

很快，我们利用乘法公式展开后移项、合并，竟然还是得出了：a2+b2=c2.

老师很高兴，等了一会，大部分人都得到这个结果后，就问我：“你再想想，这个等式与原来的图形有什么关系？有没有特别的发现？”

我定睛一扫图形1，才发现：呀！怎么是直角三角形的三边关系呢？小学就一直陪伴我们的直角三角形，从来没有哪个老师提醒我们直角三角形的三边有这种平方关系呀？是不是我们算错了？

老师发现了我的犹豫，请我说说是怎么想的.

于是我胆怯地汇报了我的发现“直角三角形三边存在一种平方关系……”

老师肯定了我的发现，并告诉我们：“其实这是直角三角形一个十分重要的性质，也称勾股定理，人类在很早的文明时期就发现了这个性质，下学期将有一章的内容来专门学习这个定理. 你们现在就已发现这个性质，应该记录下来，感兴趣的同学还可以深入思考这个性质的其他证明方法！”

看来数学图形的性质真是奥妙无穷，从一个图形面积出发，竟然能发现一个重要的性质，数学需要发现的眼光！

刘老师点评：教材上安排这个思考题的目的就是想让同学们发现勾股定理，所以我们组织了一次演算与发现，只是没有想到有学生并没有从图1出发发现定理，而出现一次课堂插曲，将图1补成一个正方形，而这个图形也是勾股定理的重要证明方法. 这个“插曲”的出现，对我们是有启示的，那就是数学上的发现、发明从来不是一帆风顺的，常常会有类似的“插曲”，或者走上一段弯路. 理解这一点，同学们就不必为数学学习之路上出现的一些波动、挫折而烦恼，也许这就是数学的魅力吧！

（指导教师：刘东升）