一道2014年高考题的推广

燕贵堂

摘    要： 本文对2014年江西高考理科20题进行了推广， 得到了圆锥曲线又一组和谐优美的性质.

关键词： 高考    圆锥曲线    切线性质    推广

1.题目及解答

如图，已知双曲线C： -y =1（a>0）的右焦点F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）.

图1

（Ⅰ）求双曲线C的方程;

（Ⅱ）过C上一点P（x ，y ）（y ≠0）的直线l： -y y=1与直线AF相交于点M，与直线x= 相交于点N，证明点P在C上移动时， 恒为定值，并求此定值.

解：（Ⅰ）A（c， ），B（t，- ）

∴ × =-1且 = ，即t= ，a= ，即 -y =1.

（Ⅱ）A（2， ），l： -y y=1，F（2，0），M（2， ），N（ ， ）

∴ = = =

= · = .

评析：这是2014年江西高考理科20题，考查双曲线的几何性质、直线方程、两直线的位置关系、直线与双曲线的位置关系等基础知识，考查数形结合、化归转化等解析几何基本思想方法，以及运算求解能力、分析解决问题的能力.

2.推广

仔细观察不难发现，直线l： -y y=1就是双曲线在点C： -y =1在点P（x ，y ）（y ≠0）处的切线，直线x= 就是双曲线C相应于右焦点F的准线，而定值 正好是双曲线C的离心率.于是我们要问：上述结论是否具有一般性呢？回答是肯定的.

定理1 （如图2）过双曲线C： - =1（a>0，b>0）上任一点P（x ，y ）（y ≠0）作双曲线的切线l，过双曲线C的一个焦点F作直线m垂直于x轴，相应于F的准线为n，l与m、n分别交于M、N两点，则 =e（e为双曲线的离心率）.

证明：直线l，m，n的方程分别为

图2

l：b x x-a y y=a b     ①

m：x=c（c= ）    ②

n：x=     ③

∵y ≠0，将②代入①解得y= ，从而得M（c， ）.

同样将③代入①得N（ ， ）.

∴|MF|=

|NF|=

∵b x  -a y  =a b ，c -a =b ，代入化简得|NF|=

∴ = =e

由于圆锥曲线有统一的定义（第二定义），因此我们有理由猜想椭圆、抛物线也有类似性质，经过探究得到定理2、定理3.

定理2（如图3）过椭圆C： =1（a>b>0）上任一点P（x ，y ）（y ≠0）作椭圆的切线，过椭圆C的一个焦点F作直线m垂直于x轴，相应于F的准线为n，l与m、n分别交于M、N两点，则 =e（e为椭圆的离心率）.

定理2的证明与定理1完全类似，这里从略.

图3

定理3（如图4）过抛物线C：y =2px（p>0）上任一点P（x ，y ）（y ≠0）作抛物线的切线l，过抛物线C的焦点F作直线m垂直于x轴，准线为n，l与m、n分别交于M、N两点，则|MF|=|NF|（即 =1）.

图4

证明：直线l，m，n的方程分别为

l：y y=p（x+x ）      ①

m：x=     ②

n：x=-     ③

∵y ≠0，将②代入①解得y= ，从而得M（ ， ）.

同样将③代入①得N（- ， ）.

∴|MF|=

|NF|=

∵y  =2px ，代入化简得|NF|=

∴|MF|=|NF|

3.反思

在高考复习中，在课堂上适当引入一些高考试题，对其进行一番探索是一件非常有意义的事情，或一题多解，从考查学生知识与能力的角度，开发试题的教学功效;或追根索源，寻找命题的背景材料，追踪命题人思想的足迹;或变式推广，从特殊到一般、从一题到一类，发掘隐藏在试题中的更多优美的性质.这样不仅能增强学生的探究能力和创新意识，还能激发学生学习数学的兴趣.