心有模式 手画轨迹 巧建模型

罗文水

万有引力定律及其在天体运动中的应用，重点是第一宇宙速度、卫星线速度、角速度、周期等的计算、比较，是匀速圆周运动、牛顿第二定律的进一步应用，通过嫦娥奔月等我国航天事业的伟大成就，来激发学生的民族自豪感，培养学生爱国主义情操.笔者在长期教学实践中对其进行总结如下：

1 理解基本规律、概念

1.1 基本规律

（1）F=GMmr2.

（2）F=mv2r=mrω2=m4π2T2r

1.2 基本概念

（1）四個距离：①万有引力公式中r表示产生万有引力的两个物体质心间的距离简称引力距；

②F向公式中r表示产生向心力的两个物体质心间的距离简称轨道半径；

③中心天体半径R和离地高度h.

（2）三个加速度：重力产生重力加速度，向心力产生向心加速度，万有引力产生合加速度；

（3）两个天体：中心天体和环绕天体，要求质量和密度的天体必须是中心天体.

2 心有运动模式

几种常见天体运动模式：单星单轨、单星双轨、双星双轨、单心双轨（如图1所示）

3 巧建天体模型

（1）两个天体模型：①贴地卫星，即紧贴地面运行的卫星，是理想化的模型；②同步卫星模型.

（2）当直接或间接涉及表面重力加速度为g和第一宇宙速度时就建立贴地卫星；当涉及地球自转时就应建立同步卫星模型.

4 活选3个F

（1）3个F的选择：在空中做匀速圆周运动的天体，若题设条件

①直接或间接涉及g和第一宇宙速度时选择F重

②涉及v、ω 、 T时选择F向

③涉及中心天体质量M或几个环绕天体具有共同中心天体等其它情况时选择F引

（2）涉及v就选择F=mv2r；涉及ω就选择F=mrω2；涉及T就选择F=m4π2T2r

5 解题的基本思路

总结出应用万有引力定律和圆周运动知识解决有关天体运动的问题的基本思路：

①建立必要的模型，画天体运动的轨迹示意图；

②明确研究对象及其运动过程；

③将半径、质量、周期等物理量进行标注；

④针对所研究天体选择3F中合适的2个F列方程.

6 应用举例

例1 某卫星贴近地球表面运行（简称贴地卫星），离地高度可忽略，设地球半径为R，试证明：

（1）设地球质量为M，引力常量为G.则该卫星运行速度v=GMR.

（2）设地球表面重力加速度为g，则该卫星运行速度v=gR.

（3）设地球质量为M，表面重力加速度为g，引力常量为G，则GM=gR2.

解析 画出该卫星的运动轨迹示意图（单星单轨），如图3所示.

（1）分析如何选择3F：涉及v就选择F向；涉及中心天体质量M就选择F引.所以

由GMmR2=mv2R得：该卫星的运行速度v=GMR.

（2）分析如何选择3F：涉及v就选择F向；涉及g就选择F重.所以

由mg=mv2R得：该卫星的运行速度v=gR.

（3）分析如何选择3F：直接或间接涉及g就选择F重；涉及中心天体质量M就选择F引.所以由GMmR2得GM=gR2.

例2 已知地球自转的周期为T，引力常量为G.若地球表面重力加速度为g，地球半径为R，试求地球同步卫星离地高度为h.

解析 因为涉及表面重力加速度g，所以应建立贴地卫星模型；本题涉及地球自转周期T，应建立同步卫星模型，因为同步卫星周期与地球自转周期相同；然后让同学们画出该卫星的运动轨迹示意图（单星双轨），如图4所示.分析如何选择3F：贴地卫星和同步卫星具有共同中心天体所以选择F引；因为贴地卫星涉及表面重力加速度g所以应选择F重，即

GMmR2=mg（1）

针对同步卫星因为涉及T，所以还应选择F向，即

GMm（R+h）2=m4π2T2（R+h）（2）

联立方程（1）和（2）解得h=3gR2T24π2-R.

例3 嫦娥三号是我国嫦娥工程第二阶段的登月探测器，于2013年12月2日凌晨1时30分在西昌卫星发射中心发射，携玉兔号月球车奔向距地球38万千米的月球；6日17时53分，嫦娥三号成功实施近月制动，顺利进入距月面平均高度约100千米的环月轨道；14日21时11分在月球正面的虹湾地区，嫦娥三号又成功实现月面软着陆，开始对月表形貌与地质构造等进行科学探测.若嫦娥三号环月飞行时运行周期为T，环月轨道（视为圆轨道）距月球表面高为h.已知月球半径为R，引力常量为G，求：（1）月球的平均密度ρ；（2）月球表面的重力加速度g.

解析 （1）画出该卫星的运动轨迹示意图（单星单轨），如图5所示，分析如何选择3F：涉及T就选择F向；涉及中心天体质量M就选择F引.所以

GMm（R+h）2=m4π2T2（R+h）（1）

ρ=M43πR2（2）

联立方程（1）和（2）解得ρ=3π（R+h）3R3.

（2）因为涉及表面重力加速度g，所以应建立贴月卫星模型，还有嫦娥三号绕月运行，画出贴月卫星的运动轨迹示意图

（单星双轨），如图6所示.

分析如何选择3F：贴月卫星和嫦娥三号具有共同中心天体所以选择F引；针对贴地卫星因为涉及表面重力加速度g所以还应选择F重，

即 GMmR2=mg（1）

针对同步卫星因为涉及T，所以还应选择F向，

即 GMm（R+h）2=m4π2T2（R+h）（2）

联立方程（1）和（2）解得g=4π2（R+h）3R2T2.

例题4 我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星.某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动，如图7所示.已知该双星运行角速度为ω，S1到O点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G.试求S2的质量m2.

解析 画出双星的运动轨迹示意图（单心双轨），如图7所示.因为要求S2的质量，所以只能以S1为研究对象.分析如何选择3F：

针对S1这一研究对象，涉及角速度就应选择；不涉及轨道所在处加速度，就不选择F重，所以还应选择，即：F向=F引，也就是m1ω2r1=Gm1m2r2，解得m2=m2r1r2G.