一道解析几何题的探究

于泽国

根据原国家教委《普通高等学校招收少数职业技术学校毕业生的规定》和原劳动部《天津职业技术师范学院单独招生办法》文件规定，采取单独命题、单独考试录取的办法，从技工院校优秀毕业生中招生，为职业教育培养“双证书、一体化”的职教师资，下面对单独招生考试中出现的一道解析几何题进行探究.

一、考题再现

2014年天津职业技术师范大学招生考试的19题为：直线L：y=kx+1与双曲线的右支交于不同的两点A、B，（1）求实数K的取值范围；（2）是否存在实数K，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出K的值，若不存在则说明理由.本道题目是一个良好的素材，可供学生学习，教师研讨.本文将探究该考题知识点，并适当改编.

二、解法呈现

评析：从以上解答过程，我们可以看出，问题①要求较基础，问题②要求考生有較强的分析和计算能力，该考题的背景为直线与圆锥曲线的关系.

三、知识点分析

直线与圆雉曲线位置关系的基础知识为：

（1）直线与圆雉曲线位置关系可通过对直线方程与圆雉曲线方程组成的二元二次方程组的解的情况来讨论.

（2）若方程组消元后得到一个一元一次方程，则相交于一个公共点.值得注意的是，直线与二次曲线只有一个公共点时，未必一定相切，还有其他情况，如抛物线与平行（或重合）于其对称轴的直线，双曲线与平行于其渐进线的直线，它们都只有一个公共点，位置不相切，而是相交.

（3）直线与圆雉曲线的位置关系，还可以利用数形结合，以形助数的方法解决.

本考题第②问，考查学生在运用知识和方法的过程中表现出的能力，着力考查学生的数学素养、潜能和逻辑思维能力.本题从直径所对圆周角为直角入手得到PA⊥PB，再由韦达定理得到关于k的方程，进而解出k的值，但计算过程较复杂.

四、考题改编

此直线与双曲线无交点，故L不存在.本题为我校参加天津职业技术师范大学2015年单独招生考试班的二模试题，让笔者和一些老师出乎意料的是，班上基础较好的学生也没有用判别式验证，所以得出了错误的结论.本题的关键点在于求出k的值，并不能说明满足题意的直线存在，一定要用判别式验证.

天津职业技术师范大学单独招生考试，十分注重基础知识和基本技能的考查，对圆锥曲线等主干知识均已解答题形式出现，考题源于课本，高于课本，重视能力，有一定的广度和深度，教师在平时的讲解过程中应做到分析合理、讲解到位、注重基础，从而使学生真正理解数学问题的内在联系.