探索知识的海洋，激荡思维的琴弦

崔平社

摘 要： 2014年11月，在西安高新一中开展了全国“聚焦课堂”活动，参与讲课的三位老师分别来自清华附中、上海北郊高级中学、西安高新一中，本节课教学的主要内容是理解函数零点的定义及方程的根与函数的零点之间的联系，了解“函数零点存在”的判断方法，对新知识加以应用；渗透由特殊到一般的认识规律，提高学生的抽象和概括能力，领会数形结合、化归等数学思想；认识函数零点的价值所在，使学生认识到学习数学是有用的，培养学生认真、耐心、严谨的数学品质；让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦.三位的展示虽然在知识背景、教学习惯上不尽相同，但是却折射出相同的教学理念，作者结合对新课程的理解，试从他们成功的亮点谈谈认识和体会，供大家参考.

关键词： 函数性质 同课异构 方程

一、案例分析

1.情景导入——“形态各异”.良好的开端是成功的一半，一节课也是如此.如果能够在数学课堂上创设好的数学问题情境，让学生怀着求知的欲望和愉悦的心情学习数学知识，就会使学生变苦学为乐学、变被动为主动探索，课堂就会充满朝气、活力.

案例1：醉不成欢惨将别（复习式）

T：请判断一元二次方程2013x■-2015x+1=0是否有实数解？

S■：因为△=（2015）■-4×2013>0，所以方程有实数解.

T：很好！还有其他方法吗？

S■：令f（x）=2013x■-2015x+1，由f（0）=1>0，f（1）=-1<0，顶点在x轴下方，所以方程有实数解.

T：这位同学将解决方程问题转化为函数问题，回答正确！还有哪位同学有其他见解？

S■：判断一元二次方程2013x■-2015x+1=0可以通过两个函数y■=2013x■与y■=2015x-1的交点有无进行，显然两图像有两个交点，所以方程有实数解.

同学们通过不同的角度回答问题，从本质上解决了我们今天要讲的第一个概念——函数的零点，请看函数的零点的定义（略）.

案例2：忽闻水上琵琶声（发现式）

T：你如何看待y=2x-1？

S■：直线.

S■：一次函数.

T：作出直线y=2x-1，不难得出直线与x轴交点的横坐标为■，■你是如何得到的？

S■：直线y=2x-1与x轴交点的横坐标.

S■：y=2x-1对应方程的解.

T：■也是今天我们要讲的函数f（x）=2x-1的零点.请看函数的零点的定义（略）.

史宁中教授认为：问题往往是看出来的，而不是证出来的，牛顿觉得“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现”.

案例3：寻声暗问弹者谁（设疑式）

T：方程3x■+6x-1=0的解？（学生有些迟疑）

T：有五次方程求根公式吗？（学生摇摇头）

T：（微笑）不刁难大家了！其实在1825年，挪威学者阿贝尔（Abel）证明了：一般的一个代数方程，如果方程的次数n≥5，那么此方程不可能用根式求解.即不存在根式表达的一般五次方程求根公式.这就是著名的阿贝尔定理.

学生释然.

T：但今天我们想借助函数解决这个问题，求出它的近似解.

学生此时有些迫不及待.在讲授某些新知识前，教师可先提出一些与学生已有知识相联系而暂时有无法解答的问题，让学生产生悬念，急于要了解问题的结果，使学生一开始就对新问题的学习产生浓厚的兴趣.

2.探究过程——“千姿百态”.在教学中，问是很重要的，进而应该是有技巧的.好的问题对于激发学生的思维，活跃课堂气氛，巩固学生所学知识，提高学生能力起到积极的作用.

案例1：转轴拨弦三两声（实问和虚问）

T：请看下面一段文字填空，然后请三位同学作答.

若函数y=f（x）在区间[a，b]？摇？摇？摇？摇？摇？摇 ，并且 ？摇？摇？摇？摇？摇？摇 ，则在（a，b）内，函数y=f（x）？摇？摇 ？摇有一个零点，即相应的方程f（x）=0在（a，b）内 有一个实数解.

S■：图像连续不间断.

S■：区间端点值相反即f（a）f（b）<0.

S■：至少……

T：上面这段话就是零点存在性定理.

“实问”即针对教学内容和知识点间的内在联系进行提问，一般用于难度较大或较抽象的新知识学习过程中.“虚问”是似问非问，巧设迷雾，但要虚中有实，一般用于活跃课堂气氛.对于一些重要的概念，一般水平的学生往往以为能记住、背熟就算是懂了，其实不然，教师在课堂上应针对一些知识提出一系列题意明确、清楚的问题，诱发学生思考、理解，帮助他们克服盲目自满情绪，达到突破、分散难点，提高学习效率的目的.

案例2：弦弦掩抑声声思（启发性提问）

T：函数y=f（x）在区间[a，b]上有f（a）f（b）<0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）上是否一定存在零点？

S■：不一定，比如分段函数.

T：很好！还有哪些函数？

S■：反比例函数.

T：很典型！那需要添什么条件可使得函数y=f（x）在区间（a，b）上是一定存在零点？

S■：函数y=f（x）为连续函数.

T：由存在性定理能确定区间上零点的个数？

S■有1个3个5个等.

T：你说的都是奇数，有偶数吗？

S■：有！上台我画.

T：不错！什么条件下函数y=f（x）在区间（a，b）上有且仅有一个零点？

S■：函数y=f（x）在区间（a，b）上为单调函数.

T：好的，以上回答从本质上解释了零点存在性定理.

教师通过提问启发学生发现问题；通过追问启发学生发现认识过程中自相矛盾之处，从而掌握正确知识；通过启发学生提出问题，在自我评价与集体评价相结合的评价方式中有效提高自我学习的能力.

案例3：低眉信手续续弹（阶梯式提问）

T：（回到课前提出的问题）判断方程3x■+6x-1=0是否有实数解？

S■：有，因为f（0）=-1<0，f（1）=8>0，f（0）f（1）<0，根据零点存在性定理，该方程有解.

T：有几个？

S■：有一个，因为函数f（x）=3x■+6x-1为单调增函数.

T：能否写出一个有解的闭区间？

S■：根据第一位同学所讲应该是[0，1].

T：能否将有解的闭区间[0，1]再缩小？S■：[0，■].

T：以上几位同学回答得都很漂亮！当然，根据今天所学的定理我们可以将有解区间进一步缩小，最后达到方程的近似解.

在课堂教学过程中，教师的提问应该要由低层次的机械记忆、认知类问题逐步过渡到深层次的分析理解、综合应用、鉴赏评价类的问题，这样一系列的“阶梯式”提问方式，可以让学生的思考由表及里，从而养成从机械记忆到深层思考的良好习惯，拓展学生思维的深度.

二、教学感悟

合理的问题设置，犹如一颗石子投向平静的湖面，总能激起学生思维的“千层浪”，成为发展学生思维能力，提高课堂教学效率的有效途径；尊重学生的思维过程，因为他们时刻在创造，过多地将自认为自然的解法技巧强制灌输给学生，不但不能达到预期效果，反而容易挫伤学生学习的积极性.可以这样说，新课堂要努力引导学生播种生命的理想，探索知识的海洋，激荡思维的琴弦，收获人生的幸福.