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神秘而奇妙的幻方(上)

2015-09-10林革

百科知识 2015年22期
关键词:幻方铁板富兰克林

林革

1957年,在西安市东郊元代安西王府遗址出土的元朝文物——铁板幻方

在国内电视娱乐节目《最强大脑》某一期里,就挑战成功与否,选手与专家展开了激烈争执,甚至引发了场下的微博大战。他们所争执的内容即是神秘而奇妙的幻方。

什么是幻方?幻方有哪些独特的魅力?就让我们通过下面的文章了解一下。

幻方是一种起源于我国的传统数字益智游戏。即把从1到n2个连续的自然数不重不漏地填入n×n的方格里,使每行、每列和两条对角线上的n个数的和都相等,这样排成的数表称为n阶幻方,这个相等的和叫幻和。我国南宋著名数学家杨辉称之为“纵横图”,在其于1275年所著的《继古摘奇算法》中,不仅给出了构造3阶幻方的最简口诀,而且还记载了4~10阶幻方的构造方法。

图1

图2

其后,这种古老且神秘的“纵横图”于15世纪初经东南亚国家、印度、阿拉伯流传到西方,在欧洲各国风行一时。就连欧拉和富兰克林等许多著名数学家和科学家,也对幻方产生浓厚的兴趣,并进行了有趣的探索。

由于“纵横图”具有变幻莫测、高深奇妙的特性,以至于西方把它称之为Magic Square,翻译成中文就是“幻方”。

千百年来,随着人们对于幻方研究的深入,幻方已经成为数学园地中的一朵奇葩。众多爱好者痴迷其中,追求更高阶、更特别的幻方,研究成果层出不穷。而且幻方的形式已经突破了原先n×n的方格模式,幻方中的元素也不再限定为从1开始的连续自然数,抑或并非每行、每列及对角线上数字之和相等,而是之差、之积、之商相等,各种稀奇古怪、趣味盎然的非正规幻方不断走入人们视线,其独特的构成和性质也引起人们强烈的好奇和关注。

幻方的起源

关于幻方的起源,中国有“河图”和“洛书”之说。相传在远古时期,黄河中跃出一匹龙马,背上驮着一张图。这就是“河图” (如图1), 据说,伏羲氏凭借着“河图”而演绎出八卦。许多研究者认为,这是最早的幻方衍生雏形。后来,大禹治水时,洛水中浮出一只神龟,它背上的图文被称之为“洛书”(如图2)。

图3

公元6世纪前后,我国南北朝时期的北周数学家甄鸾,曾对“洛书”进行了数学分析,使人们认识到蕴含其中的特性:在这个实际从1到9排成3行3列的“九宫”数表中,每行、每列以及每条对角线上的3个数字之和都相等(等于15),也就是如今的3阶幻方(如图3)。由此,“洛书”成为世人公认的最原始、最低阶的幻方,亦被称为“九宫图”。

幻方的构作

对于3阶幻方的构作,南宋数学家杨辉给出了4句要诀:“九子排列,上下对易,左右相更,四维挺出。”按序操作,任何人都可以轻而易举地完成。图解如下:

即先将1~9这些数字按序连续排成菱形位置;然后,将上下两头的数字1和9对调,再将左右两端的数字7和3对调;接着,将紧缩在里面的4个偶数2、4、6、8沿正方形对角形方向挺出到四角,则3阶幻方大功告成。

现代数学推导构作3阶幻方的步骤是:

先求幻和:幻和=n×(n2+1)÷2,则3阶幻方的幻和=3×(32+1)÷2=15;

确定中心数:根据每行、每列和两条对角线上的幻和相等,以及中心数是第二行、第二列和两条对角线幻和的公共数,可求出中心数为5,这是关键步骤;

定四角数:通过假设法和奇偶性判定四角上的数必为偶数,即2、4、6、8;

定其他数:接着稍加试验就很快得出完整的3阶幻方。

对于更高阶的奇数阶幻方和偶数阶幻方的构作,研究者给出许多奇妙的方法,在此就4阶幻方和5阶幻方分别介绍一种简易构作方法。

4阶幻方的构作方法——对称交换法:先将1~16依次按序填入4×4方格中,两条主对角线上的8个数不变,其余各数按中心对称交换(即把2和15,3和14,5和12,9和8交换),这样,就得到了一个4阶幻方。

图4

5阶幻方的构作方法——平移补空法:先画一个如图5的阶梯式图表,把1~25按倾斜行从右上到左下依次填入图中;再以中间5×5方格为基础,画出一个5阶方阵来,按照对称原理,把方阵外的数按上移下、下移上、左移右、右移左的方法,平移到对应部分的空格中,即得一个5阶幻方(如图6)。

左:图5右:图6

可以想象,不管是奇数阶幻方,还是偶数阶幻方,不管是正规幻方,还是非正规幻方,要想顺利构造出来,都不是件轻而易举的事。若没有痴迷陶醉的兴趣、锲而不舍的信念和执著不懈的努力,几乎可以肯定是徒劳无功的结局。

下面要向大家介绍的各种奇异珍品幻方,其精彩绝伦的背后更是蕴含着创作者的呕心沥血和百般巧思,令人在叹为观止之余,不禁肃然起敬。

铁板幻方

国外研究幻方的构造大约从14世纪才开始,比我国要晚1000多年。目前所知外国人所造的最早幻方是于 1957 年在西安东郊元代安西王府遗址出土的元朝文物——铁板幻方(如题图)。它们现存于陕西省历史博物馆。据推测,这两块铁板是13世纪时由阿拉伯天文学家札马鲁丁在中国监制而成。就出土地点和时代背景而言,这个铁板幻方显然受到中国幻方研究的影响。

经考证鉴定,这块长14厘米,厚1.5厘米的铁板上,铸有阿拉伯数字1~36,恰好构成一个6阶幻方。稍加验证可以发现,这个6阶幻方的幻和为111。除此之外,人们还发现了铁板幻方具备一般6阶幻方不具有的奇妙特性:

第一,铁板幻方中第1行和第6行、第1列和第6列中六个数的平方和相等。

第二,去掉铁板幻方最外一层数字,中间剩下的部分仍然是一个4阶幻方(图7)。这个4阶幻方由 11~26 这16个数组成,其每行、每列及两条对角线上的 4 个数字之和都是 74 。

图7

第三,上面提到的4阶幻方还是一个完美幻方。即各条泛对角线(与两条主对角线平行同样经过4个数的线)上的4个数字之和也都是 74。比如:15+19+22+18=23+21+16+14=11+23+26+14=74。

铁板幻方是我国数学史上应用阿拉伯数字的最早实物资料,它表明,当时人们对6阶幻方的数字秘密已经有了一些基本了解。

画家幻方

如果说,艺术家有不按常理出牌的特点,那么,中世纪德国著名画家阿尔勃列希特·丢勒在其功成名就之时,突然宣布开始转向数学研究,这种跨度似乎就难用心血来潮或别出心裁来解释了。即便如此,这位酷爱幻方的画家为其1514 年创作的名画《忧郁》添加的一个特别的背景——4阶幻方(如图8),足以显示自己业余爱好的非凡水准。

图8

用数学眼光来判断,丢勒苦心经营的4阶幻方看似非常普通。唯一比较鲜明的是,幻方最后一行中间两个数是15和14,恰好隐含了这幅作品的创作年代,似乎也仅此而已。由于已经构成的4阶幻方多达880种,为数众多,各有千秋、精彩纷呈,所以人们当初并没有对画中的幻方高看一眼。但到了21世纪,当幻方专家重新浏览这则幻方时,竟然发现数百年来“有眼不识泰山”,其中蕴含却被忽视的种种特性足以让人刮目相看。

在这个幻方中,角上4个数字之和16+13+4+1=34,等于4阶幻方的和常数,这可不是幻方的常规要求,看似无心却是有意。

在这个幻方中,角上的4个2×2小正方形和中央的一个2×2小正方形的4个数字之和仍等于幻方常数。即16+3+5+10=9+6+4+15=2+13+11+8=7+12+14+1=10+11+6+7=34,其中的机巧令人眼前一亮。

在这个幻方中,对角线上8个数字之和等于不在对角线上的8个数字之和。即16+10+7+1+13+11+6+4=2+3+5+9+14+15+12+8=68,这显然出乎人们的意料和想象。

这还没完,人们继续尝试后又有新发现:对角线上8个数字的平方和等于不在对角线上的8个数字的平方和。即162+102+72+12+132+112+62+42=22+32+52+92+142+152+122+82=748,这就更为奇巧难得了。

随后,研究者继续下面的尝试并发现:对角线上8个数字的立方和等于不在对角线上的8个数字的立方和,大家不妨验证一下,它们的和常数都为9248。如此“不变其宗”的机变实在让人拍案叫绝。

一个画家的数学造诣和精巧构思竟然如此高深,配合珠联璧合的挖掘真是叫人叹服。

“富兰克林幻方”

富兰克林是18世纪美国最伟大的科学家,著名的政治家和文学家,其捕捉雷电的故事广为人知。令人惊讶的是,他还是位颇有才华的数学爱好者,曾对幻方进行过深入研究,并制作过一则由1~64组成的8阶幻方,其中还包含4个子幻方(如图9),至今让幻方迷津津乐道。

稍加辨析,“富兰克林幻方” 除了每行每列的8个数字之和都等于260以外,其内蕴的其他种种奇妙性质,让人在细细回味之余惊讶不已。

图9

首先,4个子幻方的每行、每列上各数和为130。

其次,幻方角上的4个数与最中心4个数之和等于幻和值260。

第三,从16到10,再从23到17所成折线“∧”上8个数字之和也为 260; 且平行这种折线的其他 “∧”(包括中断进行增补)上的8个数字之和也为260。

第四,由任意4个小方格组成的2×2正方形中,4个数字之和都是130。

最后,任何4个与中心等距离且位于子幻方中对等(对称)位置的数之和为130。比如:3+30+63+34=5+28+57+40=130。

图10

“富兰克林幻方”虽然变化多端;但美中不足的是,它的对角线上8个数字之和不等于260,这也导致4个子幻方的对角线上的4个数字之和不等于130。这并不符合经典幻方的定义。即便如此,“富兰克林幻方”仍以其非凡的特性,获得幻方研究者的一致好评和推崇。

幻方大王

“富兰克林幻方”的小小缺憾,引发了无数幻方爱好者的兴趣,许多人都潜心研究试图达成圆满。俗话说“功夫不负有心人”,随着人们的不懈努力,这个问题最终被幻方大王弗里安逊圆满解决。弗氏构造的8阶幻方(如图10)完美解决了“富兰克林幻方”存在的小缺陷,并且具备更多奇妙的特性,让人回味无穷、叹为观止。

稍加验证可知,这是一个精确的8阶幻方。每行、每列和两条对角线上的8个数字之和都等于幻和260。

4个子幻方的每行、每列和两条对角线上的4个数字之和都等于130。

幻方的中间4排可以构成左右两个4阶幻方(如图阴影部分),幻和都是130。

图中含有25个2×2小正方形(按上下左右的顺序有16个,再加上标注中心 的9个,彼此没有重叠),每个方阵中的4个数字之和都等于130。

图中含有24个3×3小正方形(最上面3排可构成4个,依次往下共计类似6种情形),每个方阵中的角上4个数字之和都等于130。

图中取出任何一个4×4小正方形,其中各数字之和都等于520。

图中取出任何一个5×5小正方形,角上的4个数字都成等差数列。

图中任何一个长方形,只要以 为中心的,角上4个数字之和也都等于130。

除此之外,图中甚至还暗含8个数字之和都等于260的垂直锯齿形、水平锯齿形等特殊序列。

不愧是幻方大王,如此巧思竭虑、妙不可言的幻方,确实算得上是幻方中的大王。(未完待续)

【责任编辑】赵  菲

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