例谈极限思想在小学数学教学中的渗透

高纯标

摘 要：极限思想是近代数学中一种重要的思想，是以后学习数学分析的理论基础。将结合小学数学这一特定教育阶段，以几个有代表性的特例，论述极限思想在小学数学教学中的渗透。

关键词：极限思想；小学数学；无限逼近；无限递减；化曲为直

极限思想是近代数学中一种重要的思想，主要是用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。即用联系变动的观点，把所考查的对象看作是某个对象在无限变化过程中变化结果的思想。它体现了“从有限中找到无限，从暂时中找到永久，并且使之确定起来”的一种运动辩证思想。数学分析就是以极限概念为基础、极限理论为主要工具来研究函数的一门学科。极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。可以说，数学分析中几乎所有的概念都离不开极限。

在《义务教育数学课程标准（2011年版）》课程目标中的“总目标”明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”从“双基”到“四基”的变化上可以看出，课程标准重视在数学教学中渗透数学的基本思想，重视数学思想对学生思维发展的作用。

纵观小学教材，极限思想蕴含在小学数学诸多知识领域中。如何在小学生的头脑中播下极限思想的“种子”，让其“生根”“发芽”，为以后成长为枝繁叶茂数学分析的“参天大树”打下坚实的基础呢？本文将立足于小学数学这一特定的教育阶段，针对“极限思想”在小学数学教学中几个特例进行初步探索，为教师的教学设计提供参考。

学生在学习了循环小数后的数学活动课上，我出示了这样一道题。

下面有两组数，请大家比较大小：

讨论交流：①减数0.99…的小数点后面有多少个9？②你认为差的小数点后面的0有多少个？③差的最后一位会出现1吗？

生1：减数0.99…的末尾有无数多个9，差的小数点后面有无数多个0，差的最后一位可能不会出现1。

生2：差的最后一位一定不会出现1，因为一直减下去，有无限多个0，永远也不会出现0。

生3：我感觉0.99…无限接近1。

通过上面的教学，改变了学生总以为在那遥远的地方一定还有一个9的思维定式吧。其实，既然是无限，哪有末尾。正如“时间无所谓始终”“宇宙无边无际”一样。学生在思考解决问题的过程中，初步体会了“无限逼近”的含义，基本上知道0.99…无限接近1，最后就真的等于1的本质。

二、“一尺之棰，日取其半，万世不竭”真的取不完吗

在北师大版义务教育教科书五年级《数学》（下）中有以下两个数学情境：

第一个情境是用图形直观地帮助学生理解分数单位乘分数单位的意义，即单位量与单位数都是分数单位，表示一个分数单位的几分之一，分数单位与分数单位的积仍然是一个分数。第二个情境主要向学生渗透极限思想。怎样帮助学生感悟出木棒所剩部分的长度会趋向于0，体会到初步的极限思想，而且受到一定的传统文化的熏陶呢？

师：同学们，你们还记得在第三单元中学的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的含义吗？

生：它的含义就是说“一尺长的木棍，每天截去它的一半，千秋万代也截不完”。

师：你能说一说把这根木棍截1次、2次、3次还剩这根木棍的几分之几吗？

师：你能直接说出截4次，8次，100次还剩这根木棍的几分之几吗？

生：截4次，剩的木棍的分母应该是4个2相乘，分子应该是1……

师：如果把这根木棍截n次，还剩这根木棍的几分之几吗？

生：还剩木棍的分母应该是n个2相乘，分子应该是1。

师：你能说出把这个木棍截（n+1）次，截无数次还剩这根木棍的几分之几吗？

生1：截（n+1）次还剩木棍的分母应该是（n+1）个2相乘，分子是1。

生2：截无数次，还剩的木棍的分母应该是无数个2相乘，分子是1。

生3：我认为剩的很少很少，几乎没有了。

生4：还剩的木棍的分母很大很大，分子是1，应该离0很近很近。

师：是啊，当截得次数无限多时，分母就越来越大，分子是1，剩的就无限逼近0。

三、真的能“化圆为方”吗

极限思想不但在“数与代数”方面有所渗透，而且在“图形与几何”也有涉及，如，北师大六年级数学（上）圆的面积公式的推导过程就渗透了极限的数形结合思想。在这节课上，我利用几何画板软件，帮助学生直观理解把圆分的份数越多，拼成的图形越接近长方形，下面我把在本课教学中的一个片段摘录如下：

师：谁能说一下平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式是怎样推导出的？

生：转化成学过的图形。

师：怎样计算一个圆的面积呢？能不能把圆转化成我们学过的图形来计算呢？（学生独立思考、动手剪拼、小组讨论、汇报交流）

生1：近似的长方形。

生2：平均分成64份拼成的图形比平均分成32份拼成的图形更接近长方形。

师：请大家想象一下：如果老师继续平均分成128份、256份时，圆平均分的份数越多，每份就越小，拼组成的图形会怎样变化？

生：越来越接近长方形。

师：如果无限分下去，拼组成的图形会怎样？

生1：很像很像长方形。

生2：分成无限多份，长就变成直的了，就是一个长方形。

这个过程中从“分的份数越来越多”到“这样一直分下去”的过程就是“无限”的过程，“曲的真的变成直的了，圆形真的变成了长方形”就是收敛的结果。学生经历了从无限到极限的过程，感悟了极限思想的具大价值。

其实，在小学数学教学中，能够挖掘渗透极限思想的地方还很多，譬如：在学完小数的基本性质之后，让学生写出和0.5相等的小数；在教学“自然数”“奇数”“偶数”这些概念教学时让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限多个；在直线、射线、平行线的教学时，可让学生体会直线的两端是可以无限延长的；两条平行线无论延长多长，永远不会相交等。教师在设计教学方案，进行课堂教学时，要在学生感知有限的基础上，帮助学生构建知识表象，结合想象让学生体验无限。在感受无限的过程中，飞跃到感知极限，从而感悟极限思想。

总之，极限思想是人类思想文化宝库中的瑰宝，是对数学知识的本质反映，是学习和研究更高深的数学理论的基础。我们小学数学教师在教学中应善于挖掘教材中极限思想的素材，抓住时机，将这一思想播种在学生的头脑中，为其浇水、施肥。那么，在不久的将来，极限思想这株小苗一定会成长为数学森林中的一棵参天大树。

参考文献：

[1]白淑珍.对极限思想的辩证理解[M].中国校外教育，2008（2）.

[2]郑毓信.数学文化学[M].四川教育出版社，2004.

[3]孔企平.现代数学思想方法[M].贵州人民出版社，1994.