架构“导数及其应用”解题体系

苏霞

高中数学中的“导数及其应用”这一内容的教学，教学分析是这样的：“导数及其应用”这一部分内容的数学问题解决的“图式”是由三部分组成：“核心层”是基本类型“图式”（包括5个基本类型）;核心层之上的“夹层”是常见类型“图式”（包括若干个常见类型，留有“空位”还可以扩充）;夹层之上的是“外层”（是由化归与转化的策略性知识所组成）。总的思路是把重点学习放在“核心层”，然后给学生提供机会使他们学习向着“核心层”的化归的能力。上述“图式”可以“图示”如下：

认为“导数及其应用”这一数学问题的基本类型“图式”是：

而其中每一个具体类型问题的解决则都是“固化”了的“程序性知识”，我们可以将其归之为“算法”：

a.求导数→切线斜率→写出点斜式方程.

b.设切点坐标→写出切点处得切线方程→将已知点的坐标代入→求出切点→转化为a.

c.解不等式可得的单增区间;解不等式可得的单减区间.

d.解方程得其根，列表考查在每个根两侧的符号情况，以此求出的极值点.

e.先用d的程序求出的所有极值，再将其与在区间两端的值比较，得出最大值、最小值.

而“导数及其应用”这一数学问题的常见类型“图式”包括若干个常见类型，是开放的，留有“空位”还可以扩充：

至于“外层”的化归与转化的策略性知识，主要包括：类比迁移（再认→抽象→匹配）;数学表征的等价转化（也就是“换句话说”）;用“作差法”将两个函数之间的问题转化为一个函数的问题来研究;画一张图“鸟瞰式”地全局地分析问题;等等。

下面举一些具体的例子来加以说明：

例1：（2006年全国高考福建卷理科数学）已知函数f（x）=-x2+8x ， g（x）=6lnx+m

（Ⅰ）求f（x）在区间[t，t+1]上的最大值h（t）;

（Ⅱ）是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围;若不存在，说明理由。

分析：可以用“作差法”将（Ⅱ）转化为常见类型“图式”中的2。

例2：（2006年全国高考福建卷文科数学）已知是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12。

（I）求的解析式;

（II）是否存在自然数m使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有m的值;若不存在，说明理由。

分析：可以用 “画一张图”、 类比迁移（再認→抽象→匹配）等策略将（Ⅱ）转化为常见类型“图式”中的2。

例3：（2006年全国高考湖北卷理科数学）设x=3是函数的一个极值点。

（Ⅰ）求a与b的关系式（用a表示b），并求的单调区v间;

（Ⅱ）设，。若存在使得成立，求a的取值范围。

分析：可以用“画一张图”以及数学语言的等价转化策略将“若存在使得成立”转化为“”再将问题化归到基本类型“图式”中的e.

例4：（2007年全国高考卷II理科数学）已知函数f（x）=x3-x

（I）求曲线y=f（x）在点M（t， f（t））处的切线方程

（II）设a>0，如果过点（a， b）可作曲线y=f（x）的三条切线，证明：-a

分析：可以利用基本类型“图式”中的b，以及数学语言的等价转化策略将问题转化为“一个关于t的方程有三个根”，再用数学语言的等价转化策略将（Ⅱ）转化为常见类型“图式”中的2。