追本溯源 高屋建瓴 推陈出新

张荣生

角的度量这一单元是“图形与几何”的基础性内容，主要研究的是线与角这两部分具有高度关联的知识。以往的教学，教师通常更关注学生“量角”“画角”等技能的程序性知识教学，强调示范、讲解、答疑的指导，却忽视基本活动经验的积累和空间观念的培养，缺乏站在学生的角度思考教学的变革，从而影响了课堂教学的质量。本文从三个角度出发，深入剖析教材，思考教学对策。

一、追本溯源，探索角的度量的新起点

传统的操作教学，侧重的是操作方法的传授与总结。反映到“量角”知识上，就是“点对点，边对边，答案要看另一边”的“两重一看”方法概括指导。但是，在总结和练习后，学生量角还是频频出错。究其原因有两个，一是学生不理解量角器，二是不习惯运用曲线测量工具。

量角使用的量角器，是一个构造复杂的测量工具，与学生熟悉的直尺等“直”的测量工具相比，具有“曲与直”的本质差异，学生不理解量角器为什么要有两圈数字，在量角器上看不到“1°角”这个基本单位角，无法理解生活中很熟悉的角，为什么要从量角器曲边上去找那一个一个的点，与0°刻度线和中心点又有什么关系。因此，要提高教学的有效性，教学就必须从学生的困惑出发，追本溯源、研究对策，探索教学的新起点。

第一，让学生熟悉量角器，使它变成学生熟悉的工具。教学可在动态演绎量角器的形成过程上下工夫。对学生来说，他们测量的思维起点是度量都需要基本单位，其结果都是看里面含有几个基本单位。量角的大小也需要工具，对这个工具的“诞生”过程的理解，是学生是否会量角的基础。教师可以这样处理——（1）引导：用数字表示角的大小，需要一个统一的标准。（2）出示：角的度量单位叫作度（记为 °），把一个圆平均分成360份，其中的1份就是1 °。（3）思考：拿着一个1 °角去测量角，方便吗？怎么办？（太小不方便，可以把很多1 °拼在一起）（4）思考：看不出是几个1 °角拼在一起怎么办？（标数字，180个1°拼在一起）（5）追问：这样的角测量（开口在左），方便吗？怎么办？（从左边开始，再标一圈数字）这样，动态展示量角器的制作过程，学生心中对量角器就不再陌生了。

第二，换位学生教量角。量角的本质是“重合”。就是让需要度量的角和量角器上的角重合在一起，量角器上的角标记的度数就是这个角的度数。对学生来说，怎么重合就是一个难点，因此，必须在学生的认知和量角技巧中间，找到一个连接点，这可以用“在纸质量角器上画角”来实现。（1）试一试：在纸质量角器上画出一个60°的角。（2）观察：观察角的顶点和两边在量角器上相应的位置。再找一找中心点、0度刻度线的位置。（3）思考：指向60°的这条射线上的刻度有哪几个？为什么是60°而不是120°？（4）操作：在另一个纸质量角器上再画一个不同方向的60°的角。（5）比较：两个角在纸质量角器上有什么区别？这样，如果学生在量角器上轻易就找到了角，量角的“两重一看”以及内外圈的处理等困难就迎刃而解了。

二、高屋建瓴，思考知识建构的新对策

角的度量单元有不少重要的起始概念，像直线，线段、射线、角等。教学必须符合学生的年龄特点和认知规律，帮助学生用系统和联系的观点去认识这些概念。其实，简单概念不简单，在实际教学中，学生会出现 “直线明明能看到它的长短，为什么说无法度量？”“角的边为什么是射线？”等各种问题。深刻认识这些“几何与图形”范畴的基础概念，准确把握学生的认知特点。需要教师对概念有更深刻的认识，在教学和指导上有针对性的对策。

1. 不要简单理解概念。

在严密的希尔伯特几何体系中，点线面等都是不定义的概念。新版教材对“线段、直线、射线”的刻画同样仅仅是描述而不下定义。但是，如果因为概念不定义从而简单对待，反而会导致教学失误或不到位。

以“直线”为例。要让学生明白一条直线，没有端点，而且是无限长的，是需要对策的。直线的教学是否到位，有两个衡量的指标。第一，是否引导学生展开想象。直线是无限长且可以无限延长，这是学生生活中用眼睛无法看见的，因此，教学必须引导学生想象，把线段两端无限延长下去，这样的线是直线。第二，必须让学生明白，这种无限长的线，数学上，我们采用“—”这样的形式来表示。其实它是我们数学上的一种表示形式。和“8”代表八，“+”代表加号是一样的。

2.不要过分推敲概念。

不少教师在教学中喜欢采用逆向思维去引导学生深入理解概念。就如，学习方程的概念后，教师会问：“判断一个式子是否为方程，必须具备什么条件？”但是，这样的方式在小学阶段概念教学中，一要慎用，二要把握适当的度。小学数学中的概念大多数是描述式的，其要求是教学之后能够识别、不会混淆、能够运用就行了，过度推敲反而会导致学生思维混乱。

以“角”的概念为例。教材刻画为：从一点引出的两条射线所组成的图形叫作角。如果按照前面的方式追问：判断一个图形是否是角，必须具备哪些条件？从而得出：一要从一点引出，二必须是两条射线的结论。这样辨析就出大问题了。笔者曾听过一位教师上课，在给出一个角之后，再点上两个点，把角的边变成线段，让学生判断这个图形是否是角。这样的辨析，无论结论是什么，都造成了学生思维的混乱。事实上，生活中学生看到的角，其边都是以线段出现的。定义角的边是“射线”而不是“线段”，从某种意义上讲，是为了避免对后续研究带来不必要的麻烦。在这里，教师不经思索地设问，显然是有害的，是需要避免的。

三、推陈出新，研究技能教学的新思路

“角的度量”单元，涉及“量角”“画角”等不少操作技能方面的知识。而这些操作技能，又是学生比较难掌握的，这就给我们提出一个问题：技能教学，或许需要新的思路和对策，去提升学生的操作水平。

1. 做数学，让技能教学内涵更丰富。

技能教学仅仅停留在技能的传授和指导层面上是不够的，而应当把它置身在一个探索、思考的“做数学”的过程中。与“做数学”的过程相伴的往往是这样的活动：观察、比较、辨析、解释、调查、探索、预测、发现、研究、推理、验证等。在这样的活动中，“量角”“画角”等技能，会成为“做数学”的一个结果而水到渠成般获得。技能教学与做数学的结合，能改变技能教学低效的状况。

2. 拓思路，让技能教学品质更卓越。

除了“做数学”，还可以通过改变教学形式来提升学生的学习品质。教材中有很多有意义的素材，教师需要巧妙地采用各种方式，引导学生去理解、去讨论，促进学生的数学素养的提升。教材第41页“做一做”第2题，设计了大小相等但边的长短不一的两个角。其中一个角的边由于画得短无法读出度数，这时教师往往告诉学生，把边延长到透出量角器就可以了。事实上，这样的素材，正是引导学生理解为什么生活中看到的角，它的边都是线段，而角的定义偏偏要刻画为从一点引出两条“射线”的道理所在。教学应该善于抓住这样的契机，开展质疑、辨析活动。

角的度量单元的教学，在备课的过程中，应该追本溯源，让学生了解知识的起点，应该高屋建瓴，重视深刻领悟概念。应该站在学生的角度，站在联系生活的角度，推陈出新，探索促进学生素养提升的新方法和新思路。

（作者单位：福建省厦门市第五中学小学部）endprint