伪Fibonacci数列及其推广

邓勇

（喀什师范学院 数学系，新疆 喀什市 844006）

伪Fibonacci数列及其推广

邓勇

（喀什师范学院 数学系，新疆 喀什市 844006）

探讨了由非齐次线性递推关系gn+2=gn+1+gn+Atn，n≥0，A≠0且t≠0所定义的数列{gn}的一些基本性质；利用Elmore技巧和{gn}的指数生成函数推广了{gn}，得到一个新的序列G（nx），并证明了Gn（x）满足线性递推关系Gn+2=Gn+1+Gn+Atnext；最后，利用广义三角函数和新定义的序列{Q（nx）}再次扩展了序列{G（nx）}，给出并证明了它所满足的递推关系.

递推关系；广义三角函数；伪Fibonacci数列

本文将探讨由更一般的二阶非齐次线性递推关系所定义的数列——伪Fibonacci数列{gn}以及由其指数生成函数所定义的新序列{Gn（x）}；随后，对三角函数进行了推广，并利用广义三角函数和Pethe-Phadte技巧再次将{gn}推广到了新的序列{Qn（x）}.

1 伪Fibonacci数列{gn}的定义

设α，β是Fibonacci数列{Fn}的特征方程x2-x-1=0的两个互异根.所谓伪Fibonacci数列{gn}是指由二阶非齐次线性递推关系

所确定的数列.显然，当A=0时，{gn}则退化为{Fn}.

不难推出{gn}的通项公式、生成函数和指数生成函数分别为

特别地，当A=0时，G（x）=x/（1-x-x2）恰好是{Fn}的生成函数.

其中c1和c2如（3）所定义且当A=0时，p=0，.此时，恰为{Fn}的指数生成函数[5].

2 应用Elmore方法推广{gn}

根据Elmore方法，利用伪Fibonacci数列{gn}来定义一个新序列.为此，设

定理1序列{Gn（x）}满足非齐次线性递推关系

特别地，当A=0时，{Gn（x）}就退化为{Fn}.

证明 递推关系（6）的右边等于

因α和β是x2-x-1的根，即α+1=α2且β+1=β2,故上式可进一步化简为

3 应用广义三角函数推广{gn}

为广义三角函数[6].由函数的幂级数表示，容易看出

若对（7）逐项微分，则有

下面，利用广义三角函数首先推广伪Fibonacci数列{gn}，然后再应用Pethe-Phadte[7-8]技巧定义一个新序列{Qn（x）}.为此，设

其中α*=α1/r,β*=β1/r,t*=t1/r,r∈Z+.陆续定义序列{Qn（x）}的其他各项分别如下：

即Q1（x）是Q0（x）关于x的r阶导数，Q2（x）是Q0（x）关于x的2r阶导数，…，Qn（x）是Q0（x）关于x的nr阶导数.由Q0（x）的定义，并利用可得

显然，当r=1，x=0，A=0时，{Qn（x）}就退化为{Fn}.

定理2序列{Qn（x）}满足非齐次线性递推关系

证明 递推关系（9）的右边等于

因α和β是x2-x-1的根，故将

代入上式并经化简后，（9）的右边最终可化为

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责任编辑：毕和平

Pseudo Fibonacci Sequence and Its Generalization

DENG Yong
（Department of Mathematics，Kashgar Teacher’s College，Kashgar844006，China）

First,the basic properties of the sequence{gn}that was defined by a non-homogeneous linear recurrence rela⁃tiongn+2=gn+1+gn+Atn，n≥0，A≠0t≠0 were discussed;Secondly,the sequence{gn}was generalized by using the techniques of Elmore and exponential generating function of{gn}.Thus,we got a new sequence that satisfied a linear recurrence relationGn+2=Gn+1+Gn+Atnext;finally,the sequence{Gn（x）}was generalized again by using generalized trigonometric functions and rede⁃fined sequence{Gn（x）},in addition,its recurrence relation was given and proved.

recurrence relation；generalized circular function；pseudo Fibonacci sequence

O 171

A

1674-4942(2015)02-0139-03

2015-01-07