具有广义凸性的一类半无限向量分式规划的鞍点准则＊

李 钰 ，严建军，李江荣

(1.延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安716000;2.延安职业技术学院，陕西 延安716000)

近些年，最优化在理论上的相关研究已取得了很大进展，同时，凸性理论也被广泛应用到最优化的各个领域中，而数学规划作为最优化的一个重要分支，影响则更为深远。Preda［1］引入了(F，ρ)-凸函数。Xu［2］对之进行了推广，建立了广义的(F，ρ)- 凸函数。Z. A. Liang，H. X. Huang 和P. M.Pardalos［3］建立了更为广义的凸性条件，提出(F，α，ρ，d)- 凸函数。

本文利用局部渐近锥K，在已有定义(F，α，ρ，d)K- V - 凸函数、(F，α，ρ，d)K- V - 伪凸函数等广义凸函数的基础上，研究涉及这些广义凸性的一类半无限向量分式规划的鞍点准则。

1 基本概念

定义1.1［4］映射K:2X× X →2X称为局部渐近锥，若对每一个集M ⊆X 和每一点x ∈X，锥K(M，x)具有以下性质:

(i)K(M，x)= K(M - x，0);

(iv)K(M，x)= M，对∀x ∈int M;

(v)K(φ(M)，φ(x))= φ(K(M，x))，这里φ:X →X 为任一线性同胚;

(vi)O+M ⊆O+K(M，x)。

定义1.2［4］设K(·，·)为一局部渐近锥，则称fK(x;·):X × X →R ∪{+ ∞}，为f 在x 处的K - 方向导数。

定义1.3［5］若存在紧凸集∂Kf(x)，满足fK(x;y)则称f:X →R 在x 处是K -次可微的，其中，对∀y ∈Rn}为f 在x 处的K - 次微分。

定义1.4 称泛函F:Rn× Rn× Rm→R 是次线性的，如果对∀x1，x2∈Rn，有

定义1.5［6］设f 是定义在非空开集X ⊂Rn上的实向量函数，f:X →Rp，其每个分量fi是局部Lipschitz 连续的，如果∃F:X×X×Rn→R 是次线性函数，函数α = (α1，…，αp)Τ，αi:X × X →R+{0}，d:X × X →R，ρ = (ρ1，…，ρp)Τ，ρi∈R 和局部渐近锥K，如果对于∀x ∈X，有

则称f = (f1，…，fp)在x0∈X 处是(F，α，ρ，d)K-V - 凸的。

定义1.6［7］设f 是定义在非空开集X ⊂Rn上的实向量函数，f:X →Rp，其每个分量fi是局部Lipschitz 连续的，如果∃F:X×X×Rn→R 是次线性函数，函数α = (α1，…，αp)Τ，αi:X × X →R+{0}，d:X × X →R，ρ = (ρ1，…，ρp)Τ，ρi∈R 和局部渐近锥K，如果对于∀x ∈X，有

则称f = (f1，…，fp)在x0∈X 处是(F，α，ρ，d)K-V - 伪凸的。

定义1.7 设f 是定义在非空开集X ⊂Rn上的实向量函数，f:X →Rp，其每个分量fi是局部Lipschitz 连续的，如果∃F:X×X×Rn→R 是次线性函数，函数α = (α1，…，αp)Τ，αi:X × X →R+{0}，d:X × X →R，ρ = (ρ1，…，ρp)Τ，ρi∈R 和局部渐近锥K，如果对于∀x ∈X，有

则称f = (f1，…，fp)在x0∈X 处是(F，α，ρ，d)K-V - 拟凸的。

2 主要结果

考虑半无限向量分式规划:

其中fi，gi:X0→R，i = 1，…，p，hj:X0→R，j ∈J，J 为无限紧集，X0⊂Rn是一非空开集。记X ={x ∈X0| hj(x)≤0，j ∈J}，J(x*)= {j ∈J |hj(x*)= 0}是主动约束集，R(J)+= {μ:J →R+|对∀j ∈J，仅有有限个μj≠0}。总是假定对所有x∈X0，有fi(x)≥0，gi(x)＞0，i=1，…，p。

定义2.1 (FP)的一个可行解x*∈X 称为是(FP)的一个有效解，如果不存在x ∈X，使得

定义2.2 (FP)的一个可行解x*∈X 称为是(FP)的一个弱有效解，如果不存在x ∈X，使得

首先考虑单目标规划问题

其中l，hj:X0→R 是局部Lipschitz 连续函数。

在点x*∈X0处，记J*={j∈J|hj(x*)=0}。

定义2.3 对于问题(P)，若在点x*∈X0处，有Ω0-≠∅，则称问题(P)的约束满足约束品性C0。引理2.1［8］若x*是(P)的局部最小点且在x*处(P)的约束满足约束品性C0，则存在数(λj)j∈J，使得

引理2.2［1］x*是(FP)的有效解的充要条件是x*是P 个规划问题(FPk)(k = 1，…，p)的最优解，其中(FPk)为

现引入与 (FPk) 有密切关系的规划(EFPk):

注:易知(FPk)与(EFPk)的可行集相同，均记为D。

引理2.3 x*是(FPk)的最优解的充要条件是x*是(EFPk)的最优解。

引理2.4 若x*是(FPk)的最优解且(EFPk)在x*处满足约束品性C0，则存在非负数τi(i = 1，…，p，i ≠k)，(λj)j∈J，使下面各式成立

记f(x)= (f1(x)，…，fp(x))Τ，

进而考虑与规划(FP)密切相关的参数规划问题

定义2. 4 对应于问题(FP)的Lagrange 函数定义为L(x，y，λ)=，称)是L(x，y，λ)的鞍点，如果对于= 1}及，有

即

由(i)得

则

又由(ii)得

证明 与文献［10］中证明类似。

［1］Preda V. On efficiency and duality for multiobjective programs［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications，1992，166:365 -377.

［2］Xu Z. Mixed type duality in multiobjective programming［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，1996，198:621 -635.

［3］Liang Z A，Huang H X，Pardalos P M. Optimality conditions and duality for a class of nonlinear fractional programming problems［J］. Journal of Optimization Theory and Application，2001，110(3):611 -619.

［4］Elster K H，Thierfelder J. On cone approximations and generalized directional derivatives［M］//Clarke F H，Demyanov V F，Giannessi F. Nonsmooth optimization and related topics. New York:Springer US，1989:133 -159.

［5］Marco castellani. Nonsmooth invex functions and sufficient optimality conditions［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2001，255(1):319 -332.

［6］李钰，张庆祥，严建军，等. (F，α，ρ，d)K-V -凸半无限分式规划的最优性条件［J］.江西科学，2009，27(1):31 -35.

［7］李钰，张庆祥，严建军，等.一类广义半无限向量分式规划的最优性条件［J］.河南科学，2009，27(2):132 -136.

［8］Shimizu K，Ishizuka Y，Bard J E. Nondifferentiable and two-level mathematical programming［M］.Boston:Kluwer Academic，1997.

［9］Liu J C. Optimality and duality for generalized fractional programming involving nonsmooth pseudoinvex function［J］. Journal of Mathematical Analysis and Application，1996(220):667 -685.

［10］Bector C R. Duality in nonlinear fractional programming［J］.Zeitschrift für Operations Research，1973，17:183 -193.