浅谈高三学生的运算能力培养

厦门海沧实验中学　林桂忠

浅谈高三学生的运算能力培养

厦门海沧实验中学林桂忠

数学运算能力是高中数学重要能力之一，运算能力的强弱是影响数学学习成绩的一个重要因素。在目前高考题量大、时间紧的情况下，扎实的运算能力显得尤为重要。高三学生只有熟练掌握必要的运算能力，才能为解题提供正确的数据参考和解题思路，才能“节约”出宝贵的时间去探究新题型、新问题，否则只能“干着急”，“望洋兴叹”，纵有浑身力气也使不出来。

高考数学运算能力学习技巧

计算，是人类社会生活中不可缺少的一种活动，随着计算器、计算机的问世，在高中教学过程中很容易忽视学生的运算能力，而高考并不允许考生带这些“工具”进去，造成相当一部分考生不适应，而白白丢失分数。运算能力是思维能力和运算技能的结合，它不仅包括数的运算，还包括式的运算。高考数学对考生运算能力的考查是以含字母的式的运算为主，同时兼顾对算理和逻辑推理的考查。主要是指对数与式的组合与分解变形的能力，包括数字的计算、代数式和某些超越式的恒等变形、集合的运算、解方程与不等式、三角恒等变形、数列极限的计算、几何图形中的计算等，运算结果具有存在性、确定性和最简性。在高考中，运算能力是高考考查的三大能力之一，且提出了如下三个方面的要求：会根据法则、公式进行数、式、方程的正确运算、变形和处理数据；能根据问题的条件，寻找设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对一些数据进行估计和近似计算。下面结合高考真题分析对学生运算能力的培养提一些看法。

1　准确性

在高考的选择、填空题中，近几年来都有74分，学生只要一步算错，就整题失分（5分或4分）；在解答题中，某步算错，就会影响到后面的结果，导致连锁出错，最多只能得一半的分数。许多考生（特别是文科考生），就是因为准确率低，从而导致得分大打折扣，而与高分失之交臂，难圆名牌大学梦。运算的准确是对运算能力的基本要求，在运算过程中要求考生使用的概念要准确无误，使用的公式要准确无误，使用的法则要准确无误。

［例2］已知f（x5）=lgx，则f（2）=_______。

［解析］本题主要考查学生用换元法求函数解析式及对数的运算法则。令。有的考生不懂得换元；有的考生记错对数运算法则、分数指数幂运算法则。

总之，只有“准”才能得分，只有“准”才可不必考虑再花时间检查，而“快”是平时训练的结果，不是考场上所能解决的问题，一味求快，只会落得错误百出。

2　技巧性

技巧性对考生的运算能力提出了较高的要求。在考试说明中明确要求考生能根据问题条件，寻找设计合理、简捷的运算途径，这就要求考生不仅会解题，还要善于比较各种解题思路，在考试中尽量用最简捷的运算方法，最优的解法，避开复杂、繁锁的计算，从而提高计算的准确性，缩短解题时间，才能在考试中取得高分。近几年来，高考出题已尽量避免复杂、繁锁的计算，所以考生要学会用代值排除、数形结合、考虑特例、利用性质、结论等技巧解题。

［例3］过A（1，-1），B（-1，1），圆心在x+y-2=0上的圆的方程为（）

A.（x-3）2+（y+1）2=4

B.（x+3）2+（y-1）2=4

C. （x-1）2+（y-1）2=4

D.（x+1）2+（y+1）2=4

［分析］本题可采用代值排除法，避开繁锁的运算。把每个圆的圆心坐标代入直线方程x+y-2=0检验是否满足方程，便可排除B、D，再把A（1，-1）代入A、C两个答案代表的圆的方程，得知都满足，所以换成B（-1，1）再代入检验，可排除答案A，故选C。本题若用待定系数法，设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F＞0），或（x-a）2+（y-b）2=r2解之，显然运算量要大得多，容易计算出错。

［例4］使log2（-x）＜x+1成立的x的取值范围是

［分析］本题采用数形结合。引进函数y=log2（-x）与y=x+1，（x＜0），在同一坐标系作出这两个函数的图象，由y=log2（-x）的图象要在y=x+1图象的下方，易得x的取值范围是-1＜x＜0。

［例5］过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点F用一直线交抛物线于P、Q两点。若线段PF与FQ的长度分别是p，q，则_____。

［分析］本题可考虑特殊位置求解。因为对于过焦点的任一直线，结论均成立，所以考虑用直线在特殊位置的情况来简化运算。比如当直线过焦点）与x轴平行时，线段|PQ|为通径，即由抛物线的对称性知故选C。也考虑比如当直线就是抛物线的对称轴时，显然P、Q两点中有一点与原点 O重合，另一点在无穷远处，所以。所以。类似地，对于［例6］（2002年全国文，9）已知0＜x＜y＜a＜1，则有（）

A.loga（xy）＜0

B.0＜loga（xy）＜1

C.1＜loga（xy）＜2

D.loga（xy）＞2

［例7］已知复数z的辐角为600，且|z-1|是|z|和|z-2|的等比中项，求|z|.

［分析］本题主要考查数列等比中项、共轭复数、复数模的概念及复数模的运算性质，复数的三角形式或代数形式。考生在作答时，有的把等差中项与等比中项混淆，有的对共轭复数概念还清楚，更多的是不懂得用复数模的运算性质，来简化运算，导致运算复杂而得不到正确答案。

3　估算

估算就是对一些数据进行估计和近似计算。在高考中，数学问题（特别是应用题）的取材都是非常贴近现实生活的，这样的数据往往不是整数或数值很大，不容易做精确计算，多数情况下也没这个必要，所以考试说明明确要求考生要会对一些数据进行估计和近似计算。

［例8］据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%.”如果“十五”期间（2001年～2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十五”末我国国内年生产总值约为（）

A.115000亿元

B.120000亿元

C.127000亿元

D.135000亿元

［解析］本题主要考查考生对有关增长率问题的建模及进行估算的能力。有的考生没注意到2001年为第一年，故列出这样的错误式子：95933（1+7.3%）5，有的考生能正确列出式子：95933（1+7.3%）4，但不懂得进行估算，而不能选出正确答案。此题要求考生会用二项式定理进行合理估算：

95933（1+7.3%）4≈95933（1+4×0.073+6×0.0732）

≈95933×1.32397≈127013

［例9］《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、菥金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额。此项税款按下表分段累进计算：

全月应纳税所得额　税率不超过500元部分　5%超过500元至2000元的部分　10%超过2000元至5000元的部分　15%……　……

某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（）

A.800～900元

B.900～1200元

C.1200～1500元

D.1500～2800元

［解析］本题主要考查有关税率分段函数的列式和计算，可用代值进行估算。若此人全月应纳税所得额刚好是500元，则应纳税为500×5%=25＜26.78，若刚好为700元，则应纳税为500×5%+200×10%=25+20=45＞26.78，所以此人的当月工资、薪金所得介于800+500=1300元与800+700=1500元之间，故选C。有的考生采用直接法解之，显然所用时间较多且易错。

［例10］某进口产品，2001年的关税税率是100%，进口上岸价格是2000元（其中含1000元关税税款），假如这种产品不含关税的价格因成本减少而按每年10%逐年降低，又因中国加入世贸组织后该产品关税税率将每年降低20%，一直到2006年0为止。

Ⅰ.写出该产品2002年、2003年、2004年的进口上岸价；

Ⅱ.以2001年为第一年，写出第n年这种产品的进口上岸价格an表达式，至少到哪一年这种产品的进口上岸价不高于2001年上岸价格的一半。

［解析］本题主要考查考生根据正确建模，及进行相关的计算。为了说明估算的应用，在这里只分析第Ⅱ小题。根据题意易得an=1000（1-10%）n-1［2-0.2（n-1）］，n≤6，

an=1000（1-10%）n-1，n≥7，

a4=1000（1-10%）3×1.4=1020.6，

总之，不可忽视学生的运算能力，为了提高准确性，平常要注意比较相似的概念、公式、运算法则，如柱、锥、台的侧面积和体积公式等；为了提高计算的技巧，平常要注意代值排除法、数形结合法、考虑特殊位置、特殊值方法的训练，熟记各种性质或重要结论，如等差、等比数列的性质，收缩公式，其中，且φ角终边所在象限与点（a，b）所在象限相同等等。学生只有熟练掌握必要的运算能力，才能在高考中获得高分。

［1］数学课程标准解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2011.

［2］中学数学教学参考.2000（1）.