平面向量基本定理探讨

王立军

用向量法证明几何问题（未知坐标）时，选用哪两个向量作为基底较合理？

一、定理再现

如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 ，存在一对实数，使。

二、定理的认识

平面向量基本定理是向量理论中最重要的定理，是向量得以用数量进行计算的桥梁和纽带，是向量理论中的里程碑和标志性定理。

三、问题的提出

定理肯定了基底的存在性，并没有指明如何选择基底。在实际证明中，选择基底时，如果选择不当，可能导致证明过程过于冗长;如果选择恰当，将会使证明过程大大缩短。那么一般情况下如何选择恰当的基底呢？

四、选择基底的几条原则

1.起点重合。选择两个起点重合的向量作为基底，是选择基底的大原则。这样选择基底，可方便表示两个向量的和与差。

例1.的三边长满足，且BE、CF分别為AC、AB边上的中线，求证：。

证明：取，为一组基底，

并设，

即

2.便于表示。所取的基底必须便于表示所求向量。一般选取起点重合，且有已知点的两个向量作为一组基底。

例2.如图所示，正三角形ABC中，D、E分别是AB、BC上的一个三等分点，且AE、CD交于点P，求证：BPCD.

证明：取为一组基底，

则

设即

………………….（1）

又设

………………….（2）

比较（1） （2）两式，得：

从而

=0

故：

3.联系密切。所取的基底必须于所求向量联系密切，这样便于表示所求向量。

例3.如图所示，一直线交 的三边 所在直线分别于点R、S、T.

求证：.

证明：取为一组基底

设

则

又

即

从而：

证毕。