特殊不等式的应用

薛道飞

绝对值不等式

例1 如图，一条公路的两侧有六个村庄，要建一个车站，要求到六个村庄的路程之和最小，应该选在哪里最合适？如果在[P]的地方增加了一个村庄，并且沿着地图的虚线修了一条小路，那么这时车站设在什么地方好？

证明 以公路为数轴，设六个村庄在数轴上的坐标分别为[a1，a2，a3，a4，a5，a6].如果车站建在[x]处，由绝对值不等式得，

[S（x）=|x-a1|+|x-a2|+…+|x-a6|]

[≥|（x-a1）+（x-a2）+（x-a3）-（x-a4）-（x-a5）-（x-a6）|]

[=|a4+a5+a6-a1-a2-a3|].

等号在[x∈[a3 ，a4]]时取到，所以应在第三个或第四个村庄之间建造车站.如果在[P]处再增加一个村庄，同理知建在[D]处较好.

点拨 本题显然是一道实际应用问题，其中所用的数学知识不多，但注重分析能力.所谓分析问题，就是把事实看清楚，把道理说明白，说得有头绪，说得恰到好处.把问题解决以后，可以再想一想，如果有[n]个村庄怎样？如果还是六个村庄，但是要考虑乘车人数又怎样？这类问题叫做原题的推广.为了提高我们分析问题和解决问题的能力，积累我们的知识，应当注意用这种推广的方法来进行学习.

基本不等式

例2 若正数[a，b，c]满足[a+b+c=1]，

求证：[（a+1a）（b+1b）+（c+1c）≥100027].

分析 在学习“不等式的证明”时，大多都证明过这样的习题：若正数[a，b]满足[a+b=1]，求证：[（a+1a）（b+1b）≥254].解决这道习题并不困难，现简证如下：先得到[0

证明 因为本题的不等式，当且仅当[a=b=c=13]时取等号，为了使[a+1a=a+1ma+1ma+…+1ma]（共[m]个[1ma]）能使用平均值不等式且等号能够取到，须[a=1ma]且[a=13]，得[m]=9.所以有如下证法：

[a+1a=a+19a+19a+…+19a]（共9个[19a]）

[≥10a（9a）910].

同理，有[b+1b≥10?b（9b）910，c+1c≥10?c（9c）910] .

所以[（a+1a）（b+1b）（c+1c）≥103?abc（93abc）910].

再由[0

[（a+1a）（b+1b）（c+1c）≥100027]（当且仅当[a=b=c=13]时取等号）.

柯西不等式

例3 设[a1>a2>…>an>an+1]，求证：[1a1-a2+][1a2-a3+…+1an-an+1+1an+1-a1>0].

分析 前[n]个式子都大于零，第[n+1]个式子小于零，可将原不等式化为[1a1-a2+1a2-a3+…+][1an-an+1>1a1-an+1]，即[（a1-an+1）（1a1-a2+1a2-a3+…][+1an-an+1）>1]. 再由[a1-an+1=（a1-a2）+（a2-a3）+…+][（an-an+1）]结合柯西不等式证明.

证明 原不等式可化为

[（a1-an+1）?（1a1-a2+1a2-a3+…+1an-an+1）>1]，

又[a1-an+1=（a1-a2）+（a2-a3）+…+（an-an+1）]，

于是[[（a1-a2）+（a2-a3）+…+（an-an+1）]?（1a1-a2+][1a2-a3+…+1an-an+1）≥n2>1]，

[即（a1-an+1）?（1a1-a2+1a2-a3+…+1an-an+1）>1，]

∴[1a1-a2+1a2-a3+…+1an-an+1>1a1-an+1].

故[1a1-a2+1a2-a3+…+1an-an+1+1an+1-a1>0].

点拨 使用柯西不等式时，既要注意它的数学意义，又要注意它的外在形式.当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可以考虑使用柯西不等式对这个式子进行缩小或放大.

排序不等式

例4 有10个人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第[i]（[i]=1，2，…，10）个人的水桶需要[ti]分钟，假定这些[ti]各不相同.问只有一只水龙头时，应如何安排10个人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？

解析 这是一个实际问题，需要将它数学化.若第一个接水的人需[t1]分钟，接这桶水时10人所需等候的总时间是[10t1]分钟；第二人接水的人需[t2]分钟，接这桶水时9人所需等候的总时间是[9t2]分钟；如此继续下去，到第10个人接水时，只有他一个人在等，需要[t10]分钟.所以，按这个顺序，10个人都接满水等待的总时间（分）是[10t1+9t2+…+2t9+t10].

根据排序不等式，当[t1

点拨 掌握顺序和、乱序和、反序和的概念，明确反序和≤乱序和≤顺序和.根据所证不等式的结构形式观察是否排序不等式的结构形式或有相似之处. 构造适当的两组数将其配成相关结构形式是解决问题的突破口，这时往往要进行添项、拆项、重组、配方等方法的处理，逐步调整着去构造. 排序不等式也是基本而重要的不等式. 一些重要不等式可以看成是排序不等式的特殊情形，例如不等式[a2+b2≥2ab].