转动惯量测试方法概述

张教超，郝方楠

(陕西法士特齿轮有限责任公司，陕西西安 710119)

转动惯量测试方法概述

张教超，郝方楠

(陕西法士特齿轮有限责任公司，陕西西安 710119)

概述了复摆法、单线扭摆法、落体法、三线摆法、扭摆法、质量线法等转动惯量测试方法，分析了各个方法的测量原理，误差来源，对各个测量方法的优缺点及适用对象进行了简单的描述。

转动惯量；测试方法

0　引言

质量特性主要包括物体的质量、质心、转动惯量、惯性积等，是航空航天、车辆、兵器、精密机械等领域进行设计及自动控制的关键参数，对其进行精确测量具有重要意义。针对转动惯量的测量，目前常用的方法有复摆法、单线扭摆法、落体法、三线摆法、扭摆法、质量线法等。文中对转动惯量的各种测试方法进行了概述，分析了各个测量方法的测量原理及误差来源，对各个测量方法的优缺点及适用对象进行了简单的描述。

1　转动惯量测试方法

1.1复摆法

复摆又称物理摆。如图1所示，质量为m的任意形状的物体可绕垂直与图面的光滑水平轴O自由转动，将它由自然下垂的静止状态拉离平衡位置一个微小角度时，忽略空气阻尼，物体将绕轴作自由摆动，这样的装置称做复摆。

设复摆的质心在点C，点C到轴O的距离为l，复摆对轴O的转动惯量为J，复摆作小角度摆动时，其受到的重力矩为[1]：

M=-mglsinφ≈-mgφ

(1)

(2)

通过平行轴定理J=Jc+ml2，可计算得到构件绕质心的转动惯量Jc。

由式(2)可知，误差来源主要为ΔT、Δl、Δm。如果摆幅太大，测量误差也会随之增大。同时该测试法不适用于较大物体。该方法需要事先精确测量物体的质心，限制了其应用[2]。

1.2单线扭摆法

对于陀螺转子、螺旋桨、齿轮等小微型对称刚体构件，一般都要测其绕轴线的转动惯量。采用单线扭摆法测量，经济实用，操作简单。

把一条弹性良好、伸展性极小的金属线或金属杆的两端分别固定在基架与轴对称夹具上，并把被测构件与固定夹具同轴固定，从而构成了单线扭摆，如图2所示。若对构件或夹具施加水平偶矩，则整个系统绕轴线作扭摆运动，其运动微分方程为[3]：

(3)

(4)

由上式可知，单线摆的误差来源主要为ΔT、Δd、Δl。在吊线的拉伸变形及扭转变形完全符合胡克定律的条件下，可以适当地减少吊线直径及增加吊线的长度，在进行构件转动惯量测量时采用大角度摆动方法。

1.3落体法

对于带有转轴的各种轮盘、转子、齿轮、涡轮某些绕轴线对称分布的构件，可用落体法测量其转动惯量[4]。

所谓落体法，即是将质量为m、半径为R的待测构件转轴两端自由支撑起来；在构件转轴(或装在转轴某端的测量线轮)外沿上绕一条柔软而不易伸展的细绳(吊绳)，吊绳的一端固定在构件的外沿上，另一端固定在质量为m1的落体上，如图3所示；构件受落体重力矩的作用，作匀角加速度运动，根据构件的运动规律可计算构件绕其轴线的转动惯量为[4]：

为消除摩擦力矩的影响，可通过先后悬挂两个不同质量的落体分别进行测量得到构件转动惯量：

(6)

或

(7)

1.4三线摆法

三线摆系统如图4所示，实验台架由3根等长摆绳、托盘和固定支架组成，上、下各3个悬挂点等距分布。被测刚体放置在托盘上，调整刚体位置和配重质量块的位置，使各摆绳受力相等(系统质心过托盘几何中心点O)。在水平面内转动托盘至初始角(约为5°)，然后释放托盘，使三线摆系统在重力作用下绕OZ轴作单自由度扭摆振动。当初始角小于6°时，扭转振动才可以近似为线性振动[5]。通过测量系统摆动周期T，可以计算系统绕OZ轴的转动惯量：

(8)

设被测物体在其质心坐标系下的惯性参数为J，则JT=(Jx,Jy,Jz,Jxy,Jyz,Jzx)。在某个姿态下，被测物体绕扭摆轴线的转动惯量为JPi，根据惯性椭球原理[6]，有如下关系：

(9)

式中：li=cosαi，mi=cosβi，ni=cosγi，αi、βi、γi为扭摆轴线与质心坐标系的3个轴线的夹角。由上式可以看出，为了求出J，至少要进行6次悬吊。由于测量存在误差，实际测试时，悬吊的次数往往大于6次[7]。

利用该方法可以测量形状不规则、质量分布不均匀的刚体转动惯量。在忽略阻尼影响下，三线摆误差来源主要是ΔT、ΔR、Δr、Δm′、ΔL。

三线摆成本低，易于实现，在生产中得到广泛应用。对于小质量构件，如头盔、小型炮弹等，利用该方法可以比较方便精确测量得到转动惯量。然而对于大质量构件还有很多问题，被测件由于在转动中伴随着扭动，因此很难准确测量摆动周期。为了保证摆盘作定轴的摆动，因此对悬线刚度、长度及悬挂位置要求较高，若摆盘悬线刚度不够而载荷很大时，会使得悬线伸长，从而导致这种方法的测量误差较大，因此该方法不适于大质量构件转动惯量的测量。

1.5扭摆法

基于扭摆法测转动惯量的扭摆实验台如图5所示。

设扭杆摆动角为θ，转台转动惯量为J0，扭杆刚度系数为K，测量时保证转台振幅小于5°，以满足微幅振动条件，其无阻尼自由振动方程为：

(10)

最终可以得到被测物体的转动惯量Jc为：

(11)

式中:T0为不加被测物时系统对应的振动周期;Ts为加上被测物后系统对应的振动周期。

与三线摆测量物体转动惯量相同，至少需要测量物体6个姿态的转动惯量，由式(9)可得待测物体在质心坐标系中绕3个坐标轴的转动惯量。

与三线摆测量转动惯量相比，用这种方法会得到更准确的结果，因为扭摆法测量转动惯量时，只与空载和加载后的周期有关。但三线摆测量转动惯量时，测试数据的精度与扭振周期、摆绳的长度、托盘的直径、待测物体的质量有关，并且完全忽略了加载后摆绳的变形、托盘的平摆等因素的影响。

1.6质量线法

文献[8]提出一种基于质量线来测量物体的惯性参数的方法，即利用模态试验获得振动系统的频响函数，然后通过运动学和动力学方程求出物体的质量矩阵及质心位置，进而求出转动惯量等参数。

如果已知振动系统的激励为F(jω)，并测得系统的响应为X(jω)，那么振动系统的频响函数为：

H(jω)=X(jω)/F(jω)

(12)

对于6自由度刚体模型，如果刚体不受任何约束，则刚体的运动微分方程为[8]：

(13)

式中：F=(Fx,Fy,Fz,Mx,My,Mz)T为激励力矢量；X=(ax,ay,az,α,β,γ)为振动加速度响应矢量；Fx、Fy、Fz为激励力；Mx、My、Mz为激励力矩；ax、ay、az为平动加速度；α、β、γ为转动加速度；质量矩阵M为：

(14)

由式(12)—(14)可知：可以通过测量系统的频响函数曲线来反求质量矩阵中的相关惯性参数。

图6中所示的频响函数曲线分为3部分：低频段曲线显示的是悬吊支撑系统的固有频率特性；高频段曲线显示的是结构的弹性模态；中间近似于平直线的频段就是质量曲线段，该频段内的FRF值只与质量矩阵M中被测结构质量及各惯性参数有关，而被测结构的质量及各惯性参数是物体结构的固有属性，不会发生变化，故该频段是一段定值直线，即质量线。所以可以通过测量得到的频响函数曲线的质量线来反求质量矩阵中的惯性参数。

用该方法测量时，测量点的位置、数目、激励点的位置以及激励方向都会影响测试精度[9]，对试验人员要求较高，并且实验的重复性较差。

2　结论

概述了转动惯量的测试方法：复摆法、单线扭摆法、落体法、三线摆法、扭摆法、质量线法，得出了以下结论：

(1)复摆法不适用于较大物体，且该方法需要事先精确测量物体的质心，限制了其应用。

(2)落体法和单线摆法适用于陀螺转子、螺旋桨、齿轮、马达转子等绕轴线对称分布的构件，一般都要测其绕轴线的转动惯量。

(3)三线摆法和扭摆法均可以对外形不规则物体进行测量。相比之下，三线摆法设备简单，而扭摆法测量精度更高。

(4)质量线法的理论基础复杂，测试精度较难保证，试验重复性较差，对试验人员要求较高。

【1】孟泉水,班丽瑛,朱金山.用复摆法测量刚体的转动惯量[J].西安科技学院学报,2003,23(4):478-480.

【2】王福生.质量特性测试平台及其关键技术研究[D].哈尔滨:哈尔滨工业大学,2011:4.

【3】邹凌云.基于三线摆惯性参数测量的研究[D].武汉:华中科技大学,2011.

【4】于洽会.落体法测定构件惯性矩的几个问题[J].上海航天,2000(2):57-62.

【5】苏成谦,吕振华.大型刚体惯性参数识别的三线摆系统实验方法改进研究[J].工程力学,2007,24(7):59-65,71.

【6】罗远祥,官飞,关冀华,等.理论力学[M].北京：人民教育出版社,1981.

【7】上官文斌,贺良勇,田子龙,等.汽车动力总成质心与惯性参数测试实验台的开发[J].振动工程学报,2010,23(2):119-125.

【8】任永连,周鋐,束元.基于质量线法的汽车动力总成刚体惯性参数的研究与辨识[J].汽车技术,2013(7):25-29.

【9】杨为,刘欣,籍庆辉,等.结构刚体惯性参数识别精度研究[J].振动与冲击,2008,27(5):105-108,143.

The Summarization of Test Methods for Rotational Inertia

ZHANG Jiaochao，HAO Fangnan

(Shannxi FAST Gear Co.,Ltd., Xi’an Shannxi 710119,China)

The test methods for rotational inertia were summarized, including compound-pendulum method, single pendulum method, falling method, trifilar pendulum method, torsion pendulum method, mass line method, and so on. Then the test theories and the errors sources of the methods were analyzed. These methods’ advantage and disadvantage and the objects which these methods could be applied to were described.

Rotational inertia; Test method

2015-05-26

张教超(1985—)，男，助理工程师，从事变速器振动噪声、转动惯量测试。E-mail：jczhangwn@163.com。