有限维线性空间中线性变换值域与核的关系*

钟振华

（楚雄师范学院数学与统计学院，云南 楚雄 675000）

有限维线性空间中线性变换值域与核的关系*

钟振华

（楚雄师范学院数学与统计学院，云南 楚雄 675000）

摘要：本文给出了线性变换的值域与核的内在关系，讨论了线性空间分解为线性变换值域与核的直和的充要条件以及线性变换值域与核的包含关系。

关键词：线性变换；值域；核；直和分解

线性变换的值域与核能很好地反映线性变换的内在特征，对其做深入研究是很有必要的。文［1］给出了线性变换值域与核的维数关系，但未讨论它们的和是直和的条件；而文［2］给出了线性变换的值域与核的和是整个空间的充要条件，并讨论了特殊线性变换的性质，但仍未给出值域与核的内在本质关系。本文拟从值域与核的交集特征，探讨值域与核的本质关系，进一步深化相关结果。

1.　主要结果

下文中假设V是数域P上的有限维线性空间，A是V上的线性变换，以dim（V）表示V的维数，rank（A）表示A的秩，ker（A）表示A的核，lm（A）表示A的值域，则有

定理1［1］对于n维线性空间V上的线性变换A，有

定理2设A是有限维线性空间V上的线性变换，则

证明取Im（A）∩ker（A）的一组基为α1，α2，…，αm，把它扩充为ker（A）的一组基

若ξ∈ker（A2），有Aξ∈ker（A）∩Im（A），则

即有

由定理2，可得以下推论：

关于线性变换的幂，我们有

定理3设A是n维线性空间V上的线性变换，则存在1≤k≤n，使得对任意的0＜t∈Z，都有

显然t=1结论成立的。假设结论对一切小于t的正整数成立，则

由推论4不难得到

推论5对于n维线性空间V上的线性变换A，存在1≤k≤n，使得对任意的正整数t≥k，都有

2.　应用

下面给出以上结论的简单应用。

例1在线性空间P［x］n中的微分变换

例2在线性空间P2中，线性变换

参考文献：

［1］北京大学数学系前代数小组.高等代数［M］.北京：高等教育出版社，2013：302—305.

［2］马淑云，王骁力，张菲菲，等.从V=AV＋A-1（0）的一个条件谈起［J］.南阳师范学院学报，2013，12（06）：10—13.

（责任编辑李艳梅）

中图分类号：O151.2

文章标识码：A

文章编号：1671-7406（2015）03-0006-03

*收稿日期：2015-01-16

作者简介：钟振华 （1969—），男，副教授，研究方向：代数学。

The Relationship between Range and Kernel of Linear Transformations of Finite Dimensional Linear Space

ZHONG Zhenhua
（School of Mathematics and Statistics，Chuxiong Normal University，Chuxiong，675000，Yunnan Province）

Abstract：This paper presents the intrinsic relationship of range and kernel of linear transformations，discusses the necessary and sufficient conditions for the direct sum decomposition of range and kernel of linear transformation in linear space and the inclusion relation of range and kernel of linear transformation.

Key words：linear transform；range；kernel；direct sum decomposition