小小等号话方程

张懿菁

【摘 要】 一个小小的等号，折射出的是方程中最重要的等价思想。理解这个小小的等号，既了解了方程概念的本质，也感悟到了列方程时的建模思想，体会到了解方程中的化归思想，这才是方程思想的本质！这才是方程学习的价值！这才是方程教学的意义！

【关键词】 等号 方程 建模 化归

教方程会遇到学生提出的各种问题，仅仅告诉孩子“这是规定”肯定是不够的。怎样才能向学生说清楚这些规则背后的“为什么”？一日，突然顿悟：问题的根源其实很简单——“=”，一个小小的等号就能说明这一切！

一、等号的含义

等号，可算得上数学中最普通的符号了，四则运算、解方程、列方程解决实际问题、等式变形等各类数学活动中都离不了它。1557年，数学家雷科德（R.Recorde，1510—1558）在他的《智慧的激励》（The Whetstone of Witte）一书中首先富有创见地用两条平行且相等的直线段“=”来表示“相等”，叫做“等号”。

等号的含义有两个方面：一是表示“运算的结果”，二是表示“等价关系”。 在四则运算中，“=” 是一种分隔符号，意味着开始运算并得到运算结果，等号的右边被认为应当就是答案。也就是说，在四则运算中更多的是用等号来“作某件事的信号”，并显示一个结果。学生在很长的一段时期里所接触到的等号都是这样的含义。随着年级的升高，等号出现在新的学习内容——“方程”中。从本质上说，方程呈现的是两件事情相互等价的一种形态，方程中的“=”则表示在等号左右两边的两件事情在数学上的一种等价关系。

或许是因为这个小小的符号实在太普通、太渺小、太常见了，在实际教学中，我们反而忽视了对它的关注，忽略了它在方程中含义的转变，弱化了它在方程学习中起到的作用，才引发了学生在接触方程初期这一系列的“不适应”和“为什么”。事实证明，倘若教师没能有意识地进行渗透，学生很有可能需要较长的一段思维过渡期来渐渐体会等号含义的新变化，适应等号的新用法。

那么 在方程教学中，如何帮助学生理解等号的含义？学生理解“=”的含义究竟能对方程学习起到什么样的积极作用？

二、等号的启示

1.更清晰地理解方程的概念

史宁中教授曾在“第九届全国新世纪小学数学课程与教学系列研讨会8226；北京会场”的报告中提到如何理解方程的定义问题，他说：“虽然教科书中定义为‘含有未知量的等式，但应当知道方程的本质是在讲两个故事，这两个故事有一个共同点，在这个共同点上两个故事的数量相等。”也就是说从这个定义出发去判断一个式子是不是方程，意义不大。方程有两个重要的核心思想：建模和化归。这才是方程的数学本质，也是方程教学的重点。至于什么叫方程，什么是一元一次方程等等，在这两个核心思想面前，就显得不那么重要了。如果偏离了这个教学重点，对学生领悟数学本质，发展数学思维都是不利的。

上世纪90年代初，原西南师范大学的陈重穆和宋乃庆在《淡化形式，注重实质》一文中提出了“在数学教学中要注意淡化形式、注重实质”的观点，文中特别谈到了方程的概念，其中有两点很值得我们注意：（1）方程的概念并没有文字上的定论。文中提及了多个地方对方程概念的叙述，很明显并不一致。（2）人们对于方程的研讨，都是按照方程的实际意义来理解并进行处理的，而不是按定义的条文来进行处理的。

张奠宙教授也发表过类似的观点，他认为：“含有末知数的等式”对方程进行定义无非是种形式化的描述而己，没有实质性的意义。

我们可以清楚地得出结论：在方程的概念教学中，最重要的是体会等号的含义，体会方程的等价关系。在没有实际意义的前提下，讨论“诸如x=0，2x÷5=5……1这样的特殊形式是不是方程”完全没有价值。“含有未知数的等式就是方程”的这种说法，掩盖了方程的模型思想，虽然在形式上符合，但本质上并不是真正意义上的方程。

2.在列方程中体会建模思想

史宁中教授在关于方程思想的访谈中说过：“用等号将相互等价的两件事情联立，等号的左右两边等价，至于其中的关系是用自然语言表示的，还是用数学符号表达的，都不太重要，重要的是等号左右两边的两件事情在数学上是等价的。这就是数学建模的本质表现之一。”

表面上看，方程的建立似乎就是把两个等值的代数式用等号连接起来，但究其实质，不难发现列方程的第一步就是根据等号所体现的等价含义，从现实情景中找到相互等价的两个量，即我们常说的找到等量关系。这也是最关键的一步。在实际解题时，只有首先在心中建立起这个等号，形成一种等价意识，才能有目的地从现实情景中找到相互等价的两个量，然后概括为等价的自然语言，最后抽象成数学表达，用数学符号建立方程，解决问题。这正是建模的过程，也是方程思想的精髓之一。如果没有第一步建立等价意识，那么后面的列方程也就无从谈起，这正是建模思想的源头所在。

3.在解方程中体会化归思想

解方程的关键在于转化，将新出现的方程问题转化为已经解决的方程问题，回归到已知的算法，这正是化归思想。方程的化归将未知转化成已知，其实质则是运算的优化。遵循最佳途径进行运算可以训练学生将复杂问题简单化的思维方式，这对于他们思维习惯的影响是很有裨益的。这就是方程教育价值所在。

学生在透彻理解解方程的过程后，就自然理解了解方程过程中的各种规定，也就不会因为受到四则运算的思维习惯的干扰而出现这么多的“格式错误”了。

一个小小的等号，折射出的是方程中最重要的等价思想。理解这个小小的等号，既了解了方程概念的本质，也感悟到了列方程时的建模思想，体会到了解方程中的化归思想，这才是方程思想的本质！这才是方程学习的价值！这才是方程教学的意义。

【参考文献】

[1]义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社.

[2]史宁中，孔凡哲.方程思想及其课程教学设计[J].课程·教材·教法，2004，（9）.

[3]潇湘数学教育工作室.建模与化归：方程教学的重中之重[J].湖南教育（数学教师），2008，（06）.

[4]鲁晓琴.谈方程模型思想的渗透[J].甘肃科技纵横，2007，（02）.

[5]陈重穆，宋乃庆.淡化形式，注重实质[J].数学教育学报，1993，（3）.