带p-Laplaian算子的四阶微分方程边值问题正解的存在性

黄明辉

（广州华夏职业学院基础部，广东广州510935）

带p-Laplaian算子的四阶微分方程边值问题正解的存在性

黄明辉

（广州华夏职业学院基础部，广东广州510935）

摘要：研究一类带p-Laplacian的四阶微分方程，运用范数形式的锥拉伸与锥压缩不动点定理方法证明了该方程解的存在性.在允许a(t)在端点处存在奇异的情况下，给出了该方程在特定区间内存在至少一个或两个正解的充分条件，其中正解的存在区间依赖于参数 λ＞0.

关键词：不动点定理；存在区间；正解；p-Laplacian算子

考虑如下边值问题：

其中øp(s)＝s|s|p-2，p＞1，s∈R，λ＞0是一个参数［1-3］.对于边值问题(1)，令øp(u″(t))=v(t)，t∈(0,1)，u(0)=u(1)=0，作积分算子S∶C(I)→C(I)，则有：

于是，边值问题(1)可变为：

其中，g(t,v(t))=f(t,(sv)(t),øq(v(t))).

若边值问题(3)存在一个解，由u(t)=(sv)(t)=(t,s)øq(v(s))ds知，边值问题(1)也存在一个解.

对Banach空间X=C+［0，1］，定义其中的范数为.对于自然数m≥3，记：

对于r＞0，记Ωr={u∈Km‖v(t)‖＜r}，∂Ωr={v∈Km‖v(t)‖=r}.显然，Km为非负连续泛函C+［0,1］的子锥［7-10］.

1　相关引理

本文使用以下条件：

(H1)g(s,v(s))∈C+［0,+∞)并且存在tn→0，使得g(tn,v(tn)))＞0，n=1,2,….

(H2)a(t)∈C+(0,1)，使得t(1-t)a(t)dt＜+∞成立，并且存在自然数m≥3及正数，满足a(c)＞0.记：

显然，在条件(H2)下A＞0且Bm＞0，在条件(H1)-(H2)下，T∶C+［0,1］→C+［0,1］.

引理1假设条件(H1)与(H2)成立，则T∶Km→Km是全连续映射.

证对于n=1,2,…，记an(t)=min{a(t),n}，en{t∈［0,1］|a(t)≥n}.记：

由(H2)知s(1-s)a(s)ds→0(n→+∞)，任取r＞0及u∈Ωr，记M=0≤m‖av‖x≤rg(s,v(s))，则有：

这表明sup{‖Tv-Tnv‖|v∈Ωr}→0，于是T∶Km→Km全连续.

2　主要结果

定理1假设条件(H1)-(H2)成立，并且存在两个不同的正数a、b使得：

则边值问题(3)存在一个正解v*∈Km且有min{a,b}≤‖v*‖≤max{a,b}.

证不妨设a＜b.任取v∈∂Ωa，则对任何有0≤s≤1有g(s,v(s))≤.于是有：

这表明，当v∈∂Ωa时

任取v∈∂Ωb，则对任何≤s≤1-时，有g(s,v(s))≥.于是：

这表明，当v∈∂Ωb时，‖Tv‖≥b=‖v‖.

根据范数形式的锥拉伸与锥压缩映像的不动点定理，可以知道存在，使得Tv*=v*.这表明，v*为(3)的解且满足a≤‖v*‖≤b.由于‖v*‖≥a＞0，注意到v*(s)在上大于0.利用Tv*=v*及条件(H1) (H2)，可以断定‖v*‖＞0，于是边值问题(3)存在正解，由此可推出(1)也存在正解，该正解由(2)唯一确定.

定理2假设条件(H1)-(H2)及(L1)-(L2)成立，则对任意的λ满足0＜λ＜λ*，边值问题(3)存在两个正解，其中：

另一方面，由(L1)-(L2)知，存在b1、b2满足0＜b1＜a1＜r0＜a2＜b2＜+∞，使得：，其中s∈(0,b1］∪,+∞).由此可得：g(s,v(s))≥

上述结论满足定理1的条件，定理1结论成立.边值问题(3)存在两个正解v*1、v*2满足0＜b1＜‖v*1‖＜a1＜r0＜a2＜‖v*2‖＜b2＜+∞，由此可推出(1)也存在正解，该正解由(2)唯一确定.

定理3假设条件(H1)-(H2)及(L3)-(L4)成立，并且当s＞0时，g(s,v(s))＞0，则对任意λ满足λ**＜λ＜+∞，边值问题(3)存在两个正解，其中：

成立.这表明：

另一方面，(L3)表明g(0,v(0))=0且存在a1满足0＜a1＜b1使得当‖v‖∈(0,a1］时，有成立.于是g(s,v(s))成立，其中‖v‖∈(0,a1］.而(L4)表明，存在正数a满足b2＜a＜+∞，使得当‖v‖∈(a,+∞］时，.不妨设g(s,v(s))，选取a2＞a满足a2≥λAM，则有g(s,v(s))≤M≤≤成立，其中‖v‖∈(0,a2］.

满足定理1的条件，定理1结论成立.因此，边值问题(3)存在两个正解满足0＜a1＜‖‖＜b1＜λ**＜ b2＜‖‖＜a2＜+∞，由此可推出(1)也存在正解，该正解由(2)唯一确定.

定理4假设条件(H1)-(H2)成立，下列条件其中一条成立：①(L1)与(L4)成立；②(L2)与(L3)成立，则对任意λ＞0，边值问题(3)存在一个正解.

证对于①，仅需证明对于定理2中，λ*=+∞.设g(s,v(s)).

情形一：若M有界，则由定理2知，有λ*≥=+∞于是结论成立.

情形二：若M无界，则存在数列rn→+∞，使得g(rn,v(rn))g(s,v(s)).利用(L4)可以得到λ*≥=+∞，于是结论成立.

对于②，仅需证明对于定理3中，λ**=0.由(L2)知，当‖v‖→+∞时，有g(s,v(s))→+∞，则存在rn→+∞，使得g(s,v(s))成立.利用(L2)则和定理2，有λ**≤=0成立.于是结论成立.

定理5假设条件(H1)(H2)成立，下列条件其中一条成立：①(L1)与(L6)成立；②(L2)与(L5)成立，则对任意0＜λ＜，边值问题(3)存在一个正解.

对于②，证明过程与①类似.

定理6假设条件(H1)-(H2)成立，下列条件其中一条成立：①(L3)与(L6)成立；②(L4)与(L5)成立，则对任意＜λ＜+∞，边值问题(3)存在一个正解.

证对于①，由(L3)与(L6)知，存在rn→+∞，使得：

利用定理2，有：

对于②，证明过程与①类似.

参考文献：

［1］Gupta C P.Existence and uniqueness theorems for the bending of an elastic beam equation［J］.Appl Anal，1988(26):289-304.

［2］Gupta C P.Existence and uniqueness results for the bending of an elastic beam equation at resonance［J］.J Math Anal，1988(135): 208-225.

［3］Gupta C P.Existence and uniqueness results for some fourth order fully quasilinear boundary value problem［J］.Appl Anal，1990 (36):157-169.

［4］Aftabizadeh A R.Existence and uniqueness theorem for fourth-order boundary value problems［J］.J Math Anal ppl，1986(116):415-426.

［5］Yang Y.Fourth-order two-point boundary value problems［J］.Proc Amer Math Soc，1988(104):175-180.

［6］Pino Del,Manasevich R F.Existence for a fourth-order boundary value problem under a two-parameter nonresonance condition ［J］.Proc Amer Math Soc，1991(112):81-86.

［7］Ma Ru-yun,Zhang Ji-hui,Fu Sheng-mao.The method of lower and upper solutions for fourth-order two-point boundary value problems［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications,1997(215):415-422.

［8］李永祥.四阶非线性边值问题的存在性与上下解方法［J］.数学物理学报 ，2003，23(A2):477-484.

［9］李永祥.四阶边值问题正解的存在性与多解性［J］.应用数学学报,2003,26(1):109-116.

［10］Feng M Q,Ge W G.Existence of positive solutions for singular eigenvalue problems［J］.Electronic Journal of Differential Equations,2006(105):1-9.

（责任编辑：邵晓军）

中图分类号：O175.8

文献标识码：A

文章编号：1007-5348（2015）02-0001-05

［收稿日期］2014-02-03

［作者简介］黄明辉（1988-），男，广东从化人，广州华夏职业学院基础部助教，硕士；研究方向：微分动力系统.

Existence of Positive Solutions for Fourth-order Boundary Problems of Differential Equation with p-Laplacian Operator

HUANG Ming-hui
（Department of Basic,Guangzhou Huaxia Technical College,Guangzhou 510935,Guangdong,China）

Abstract:The paper studied the BVP with p-Laplacian operator.By using the fixed point theorem of cone expansion and compression of norm type,it proved the existence of positive solutions of the upper equation.In addition,it achieved some sufficient conditions for the existence of at least one positive solution within the specific range which depends on the parameter that is λ＞0 when there is peculiarity at point a(t).

Key words:fixed point theorem;existence interval;positive solution;p-Laplacian operator