浅谈线性代数的教学方法

2015-07-31常雁玲

环球人文地理·评论版 2015年4期

常雁玲

摘要：线性代数作为高等数学中的一部分，是大学必须要学习的一门科目。那么如何调动学生们对线性代数的兴趣，让学生们主动并且积极的学习线性代数，对于一个从事教学工作的人员来说，有着极为重要的意义。丰富的教学手段，多年的执教经验，以及遇到诸多问题后的种种反思对于高等数学教学来说都是极为重要的。本文主要总结了线性代数的几种教学方法，涉及到教学中应注意的问题，以及一些行之有效的观点和方法。

关键词：线性代数；观点；教学方式

引言：线性代数的应用，涉及的范围十分广泛，例如数学、物理学，亦或是其他技术学科之中，因此线性代数在各种代数分支中，可以说是占据着首要位置。而线性代数同样是理工科大学各专业的基础课，学习线性代数对于培养学生的逻辑推理能力、计算能力、抽象思维能力以及工程实践中的具体应用能力有着不可忽视的作用。而线性代数这门学科，通常在大一大二年级设置，对于初学者来说，线性代数的困难，一度让学生们感觉束手无策。那么，如何解决这一问题，如何调动学生们学习的乐趣，让这门学科的成绩提升上来，无疑成为了老师们教学的关键。

一、代数概念区分

（一）行列式和矩阵

行列式和矩阵，是解析线性代数的关键，而这二者之间，有着密切的联系，却又不能将其等同。那么，首先，要确定二者各自的定义，注意二者之间的符号差异，其具体表现在：

1.矩阵，行列式。

2.表现形状。

由此可见，行列式的行数与列数必须相等，而矩阵的行数与列数可以相等。

3.意义差距。

矩阵是数的表格，而行列式则是一个数，亦可说是一个算式。

（二）行列式与矩阵计算方法的不同

线性代数涉及的计算内容，对于初学者来说，很难。甚至，很多同学觉得，面对计算时，有种无从下手的感觉。一般求解方程组的时候，有些同学生搬硬套，直接采取克拉默法则求解。如果同学们能够清楚二者之间的差别，知道只有方阵才能有对应的行列式，不相等的矩阵无法用行列式进行计算的话，就不会出现这种错误。

二、针对行列式和矩阵的差别，采取对比教学法

线性代数中的行列式和矩阵容易混淆，其中涉及的概念以及数乘运算，是学生们最为困扰的一点。如何将它们区分开来，这是一个关键问题。这里采取对比的教学方法，可以加深同学们的印象，有着不错的教学效果。

学生在学习行列式和矩阵初等变换后，容易将二者的符号弄混淆。尤其是二者符号书写上面完全一致，但它们本质是不同的。例如行列式的运算表示的是数值运算，变换过程中用“=”连接，且前面会出现负号“-”。而矩阵变形过程中，不会出现负号“-”，也不会出现系数“ ”。

（一）矩阵、行列式的加法和数乘

矩阵的加法运算时，两个同型矩阵相加是指它们的对应元素相加。行列式的某一列或是某一行两数相加，也是对应元素相加。但区别是，矩阵中的每一个元素都是两数之和时，此矩阵等于两个矩阵的和。而行列式则是等于两个行列式的和。至于数乘运算，二者的差别要更大一些。矩阵式只有公因子可以提到矩阵符号外，而行列式只需要满足一行，或是一列的公因子，就可以提到符号外。

（二）矩阵的等价、相似、合同的充分必要条件

矩阵的等价性质分为三方面，分别是反身性、对称性、传递性。两个矩阵，等价的充要条件为：存在可逆的阶矩阵与可逆的阶矩阵，使得。

矩阵的相似关系：设，均为数域上阶可逆矩阵，矩阵与为相似矩阵（若级可逆矩阵为正交阵，则称与为正交相似矩阵）。同样的，矩阵的相似关系也有三个性质，分别是反身性、对称性、传递性。

矩阵合同的性质：反身性，任意矩阵都与自身合同；对称性，如果与合同，那么与也合同；传递性，如果与合同，又与合同，，那么与合同；合同的两矩阵有相同的二次型标准型；在数域上，任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵；矩阵合同与数域有关。

三、善于发现和利用反例

线性代数中存在很多抽象的概念，如何将这些抽象的概念掌握，如何在初学时掌握一定的技巧，避免走入误区，这一点，十分关键。如果能够举一些反例，相比较之下，就会加深学生对概念的理解和掌握。

例如，在涉及矩阵运算的时候，可以告诉学生，矩阵乘法不满足交换律。但这样的强调，并不能引起学生们的注意。这时候，举出一个反例，用错误的计算点醒学生，就会取得一个不错的效果。

四、举一反三，一题多解

一道题的正确解答方法不单单只有一个，那么发散学生的解题思路，开拓学生的视野，将所学知识有效的串联起来，对于养成学生发散思维，有着重要影响。

例1：已知向量组，，线性无关，，，，证明：向量组，，也线性无关。

证法1：设有，，，使得，

即，