欧拉积分性质及应用

卢路加++张君会++赵志稳

摘 要：现在我们很多时候解决问题的工具还是初等函数，这给我们的一些研究带来了很多不便。含参量积分是解决问题的另一重要工具，同时含参变量积分也是引进非初等函数，构造新函数的一个重要途径，欧拉积分就是在应用中经常出现的含参量积分表示的函数，它虽身为含参量积分的一种特例，但本身也是许多积分的抽象概括，能为相关积分的计算带来方便。欧拉积分在理论和实践上的地位仅次于初等函数，应用十分广泛。

关键词：含参量积分；欧拉积分；性质；应用

一、欧拉积分的基本知识

格马（Gamma）函数：Γ（s）=xs-1e-xdx，s>0.

贝塔（Beta）函数：B（p，q）=xp-1（1-x）q-1dx，p>0，q>0

（一）Γ函数的性质

1.定义域：Γ函数在s>0时收敛，即定义域为s>0.

2.连续性：在任何闭区间[a，b]（a>0）上一致收敛，所以Γ（s）在s>0上连续。

3.可微性：

Γ（s）在s>0上可导，且Γ（1）（s）=xs-1e-xIn xdx，Γ（n）（s）=xs-1e-x（In x）ndx.

4.递推公式：Γ（s+1）若s为正整数n，则Γ（n+1）=n！

5.Γ（s）的其他形式：

令x=y2，就有Γ（a）=xa-1e-xdx=2y2a-1edy（a>0）

令x=py，则有Γ（a）=xa-1e-xdx=paya-1e-pydy（a>0，p>0）

特别地当时，并且有

6.余元公式：揭示了函数和三角函数的关系

7.倍元公式：

（二）B函数的性质

1.定义域：B（p，q）的定义域为p>0，q>0.

2.连续性：B（p，q）在p>0，q>0内连续.

3.对称性：B（p，q）=B（q，p）

4.递推公式：

B（p，q）=B（p，q-1）（p>0，q>1）

B（p，q）=B（p-1，q）（p>1，q>0）

B（p，q）=B（p-1，q-1）（p>1，q>1）

B（p，q）=B（p+1，q）B（p，q+1）（p>-1，q>-1）

5.B（p，q）的其他形式：

令x=cos2t

B（p，q）=2，特别的当p=q=，B（p，q）=B（，）=

令x=

B（p，q）=dt=dt+dt

6.余元公式：

特别的

（三）Γ函数与B函数之间的关系

当m，n为正整数时，反复应用B函数的递推公式可得：B（m，n）=

一般地，对于任何正实数p、q也有相同的关系：B（p，q）=

二、欧拉积分的应用

通过式子的变形将积分变成欧拉积分的形式，也可以利用换元法将未知积分化为欧拉积分，再利用欧拉积分的相关性质，计算出该积分的值。

（一）应用一直接将积分变成欧拉积分

1.求积分dx

解：原式=dx

==

2.求积分dx

解：原式=dx4=dx4=

3.求积分dx（a>0）

解：原式==

（二）应用二利用换元法将未知积分化为欧拉积分

1.求积分

解：设x3=t，则=

再作代换，即得

=

2.求积分（n>0）

解：设xn=t，

则=

应用三欧拉积分性质的应用（1）

求积分

解：设t=sinx，则=dt

再作代换t=，即得=

=

参考文献：

[1]华东师范大学数学系，《数学分析》[M]，（上，下册）北京：高等教育出版社，2007.

[2]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，1993.

[3]费定辉，周学圣等，吉米多维奇数学分析习题集题解（五）[M]，济南：山东科学技术出版社，1999.

[4]钱吉林.数学分析题解精粹[M].崇文书局，2003.

（作者单位：河南师范大学）endprint