基于MATLAB数值模拟的局域表面波探究

陈卫卫,王 艳

(1.西安航空职业技术学院,西安,710089;2.长安大学信息工程学院,西安,710064)

0 引言

光折变效应是电光材料在光辐照下由于光强空间分布引起材料折射率相应变化的一种非线性光学现象。由光折变效应引起的空间光孤子是近年来研究人员一直感兴趣的课题之一。主要包括屏蔽孤子、光伏孤子、屏蔽光伏孤子、聚合孤子等。然而，这些孤子都形成在光折变晶体(PRC)体内，在PRC介质与线性电介质界面还存在着光折变表面波(PRSWs)。PRSWs是光波在在PRC介质与线性电介质界面传播时由于光束自弯曲和全内反射相平衡形成的一种自诱导表面光波。它可以将光波的能量限制在线性电介质与PRC表面的狭层内，在界面处具有很高的波能量与功率密度，各种在界面处非线性效应的增强，在表面波导制备、材料界面特性检测、二次谐波产生、光通信、光计算、光互连、光路由及光控光等方面有着潜在的应用价值。

局域表面波是PRSWs中的一种特殊的表面波，它在晶体内无振荡末尾，能量局域程度更高，可以保持类光孤子形状。本文给出了表面波在线性电介质与光折变晶体界面传播时的演化方程，借助于计算机MATLAB软件，利用打靶法和光束传播法，数值模拟了扩散漂移机制下局域表面波的传播，分析了局域表面波的形成，讨论了局域表面波的传播稳定性。

1 理论模型

设一光束在线性电介质与PRC界面沿z轴传播，线性介质在x轴右侧(x≥0)，PRC在轴左侧(x<0)。考虑光折变晶体的扩散和漂移非线性，光波感应的空间电荷场表达式为Esc=[E0+(KBT/e)∂(I/Id)/∂x]/(1+I/Id)，其中 E0是外加电场，I是光波强度，Id是介质中的暗辐射，KB是波尔兹曼常数，T是介质的温度。在这种情况下，光波振幅满足的演化方程为：

其中q(s, ξ)是光场慢变复振幅；当s≥0时，R=0，当s<0时，R=1。s=x/x0和是归一化的横坐标和纵坐标；x0是入射光束的宽度；k0=2πn0/λ是电介质中的波数；n0是电介质的折射率；λ是光束的波长；/2表示波导参数；k=2πn/λ是PRC中的波数，n是晶体未受扰动的折射率；μ=KBT/(ex0E0)是光折变非线性的扩散系数。

根据光束传播法，通过MATLAB数值计算可以对方程(1)进行光波动态演化，设入射光束形式为：q(s, ξ=0)=sech(s-s0)，其中，s0为入射光束中心位置坐标。参数μ和p取正值时，我们模拟了线性电介质与PRC界面表面波的形成与传播，如图1所示。

在PRC非线性扩散机制的影响下，入射到晶体表面附近的光束会向边界位置弯曲，当光束接近电介质与PRC的边界时，会受到来自界面的排斥力，最终，由于低功率密度介质的存在，光束在界面处发生全内反射，如图1(a)所示。在经过第一次反射后，光束会远离界面进入晶体内，然后又由于自弯曲效应向边界位置弯曲。这种在界面处连续的反射就形成了光束在PRC表面附近的传播。当入射角度小于全内反射角时，部分光束就会折射至线性电介质中进行衍射传播，如图1(b)所示。若初始入射光束非常接近界面位置时，光束的反射会超过自弯曲，如图1(c)所示。界面对光束的排斥力完全被光束的自弯曲效应所补偿，光束在晶体表面可以理想地稳定传播，最终形成稳定的表面波。

本文以光折变晶体SBN为例，晶体的参数及相关计算参数 如 下：reff=30pm/V，n=2.35，E0=6kV/cm，n0=1，λ=633nm，x0=50μm，T=300K。

2 数值模拟与结果讨论

为了得到局域表面波的稳定解，设波模振幅q=u(s)exp(ibξ)，其中u(s)为表面波模，b为传播常数。将该表达式代入方程(1)可得

方程(2)满足u和du/ds在界面位置s=0处的连续性。当R=0时可以得到初始条件满足u(s)=mexp[-(2b)1/2s]，其中m是非线性作用强度的任意参量。当R=1时方程(2)无法求得解析解，但可利用打靶法将其转化为两点柯西边值问题，通过数值积分求解。根据文献[7]可知，传播常数与波导参数之差影响表面波的形成。给定参数p和μ，调节传播常数b，用MATLAB中求解微分方程的命令ode45和打靶法子函数我们得到前四阶局域表面波模(在s→±∞时u→0)的轮廓图，如图2所示。

图1 光束入射到不同界面位置时的动态演化图，(a)s0=-3，(b)s0=-30，(c)s0=-1.3。系统参数取值为：μ=0.1，p=1.0，界面位置在处

图2 传播常数b依次取1.5, 2.0, 2.5时前四阶局域表面波模轮廓图，系统参数取值为：μ=0.1，p=1.0

从图2可以看出，一阶局域表面波模可以用正割形式的孤子解近似描述。随着传播常数的增大，光波的振幅逐渐变大，光波能量更加向边界位置集中。随着波模阶数的增加，光波在晶体中传播的距离逐渐变长，集中在界面附近的光波能量也逐渐增强，受扩散非线性的影响，波模的分布变得越来越不对称。此外，局域表面波的衰减速率主要取决于扩散强度μ，当μ值较大时，局域表面波衰减的速率加快，形成时间被缩短。

图3 前四阶局域表面波能量随传播常数b的变化曲线，系统参数取值为：μ=0.1，p=1.0

光波能量的表达式为：

图3给出了前四阶局域表面波的能量随传播常数变化的曲线，从图中可以看出，随着传播常数的增加，波模能量单调递增。此外，波模阶数增大时，光波能量也随之增大。根据Vakhitov-Kolokolov(VK)稳定性判据可知，dW/db＞0时，局域表面波可以稳定地传播。

为了说明局域表面波的稳定性，我们采用分步傅里叶变换法，对局域表面波进行模拟传输演化。当波导参数p＞0，传播常数b=2时，对输入光波加10%的扰动，由MATLAB得到演化结果如图4所示。可以看出，局域表面波在传输一段距离后仍可保持原状，说明其可以稳定传输。

图4 输入光波加10%的扰动时前四阶局域表面波传播演化图

3 结束语

本文借助于计算机MATLAB软件数值模拟了线性介质与PRC界面局域表面波的形成及其传播，结果表明，打靶法可以求得局域表面波的稳定解，一阶局域表面波模类似于正割形式的孤子，传播常数增大时，波振幅变大，宽度变小，波能量单调递增。波模阶数增加时，波模的分布变得越来越不对称。分步傅里叶法可以模拟前局域表面波的扰动传输演化，并且，局域表面波可以沿着线性电介质与PRC界面稳定传输。