运用“定义法”求圆锥曲线的方程初探

胡富国

求圆锥曲线的方程（含求轨迹），既是解析几何的重要基本知识，同时又是高考每年必考的重点内容。其主要内容是椭圆、双曲线、抛物线方程的求法，这一类问题的解决往往要涉及到函数、不等式、方程、三角、直线等有关知识和数形结合思想、函数与方程思想、转换思想的综合应用，因此在高考中常常以圆锥曲线为载体来全面考查学生的综合能力。现我就运用“定义法”求圆锥曲线的方程谈谈自己的心得。

一、运用“定义法”求椭圆的方程

例1：两个焦点的坐标分别是（-4，0），（4，0），椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和等于10。求符合条件的椭圆的标准方程。

解∵椭圆的焦点在x轴上，

∴设椭圆的标准方程为■+■=1（a>b>0）

∵2a=10，∴a=5，又∵c=4。 ∴b2=a2-c2=52-42=9。

故所求椭圆的标准方程为■+■=1。

二、运用“定义法”求双曲线的方程

例2：已知双曲线两个焦点分别为F1（-5，0），F2（5，0），双曲线上一点P到F1，F2距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。

分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a，b，c。

知识拓展：求下列动圆的圆心M的轨迹方程：

①与⊙C：（x+2）2+y2=2内切，且过点A（2，0）;

②与⊙C1：x2+（y-1）2=1和⊙C2：x2+（y-1）2=4都外切;

③与⊙C1：（x+3）2+y2=9外切，且与⊙C2：（x-3）2+y2=1内切。

解题剖析：这表面上看是圆与圆相切的问题，实际上是双曲线的定义问题。

具体解：设动圆M的半径为r。

①∵⊙C与⊙M内切，点A在⊙C外，∴|MC|=r-■，

|MA|=r，因此有|MA|-|MC|=■，∴点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支，即M的轨迹方程是2x2-■=1（x≤-■）;

②∵⊙M与⊙C1、⊙C2均外切，∴|MC1|=r+1，|MC2|=r+2，因此有|MC2|-|MC1|=1，∴点M的轨迹是以C2、C1为焦点的双曲线的上支，

∴M的轨迹方程是4y2-■=1（y≥■）;

③∵⊙M与⊙C1外切，且⊙M与⊙C2内切，∴|MC1|=r+3，|MC2|=r-1，因此|MC1|-|MC2|=4，∴点M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支，

∴M的轨迹方程是■-■=1（x≥2）。

三、运用“定义法”求抛物线的方程

例3：动点P到直线x+4=0的距离比它到点M（2，0）的距离大2，则点P的轨迹方程是________。

解析：动点P到直线x+2=0的距离与它到点M（2，0）的距离相等，利用定义求出抛物线方程。

答案：y2=8x

例4：已知动点P（x，y）（y≥0）到定点F（0，1）的距离和它到直线y=-1的距离相等，记点P的轨迹为曲线C。

（1）求曲线C的方程;

（2）设圆M过点A（0，2），且圆心M（a，b）在曲线C上，若圆M与x轴的交点分别为E（x1，0）、G（x2，0），求线段EG的长度。

解：（1）依题意知，曲线C是以F（0，1）为焦点，y=-1为准线的抛物线。

∵焦点到准线的距离p=2，

∴曲线C方程是x2=4y。

（2）∵圆M的半径为■

∴其方程为（x-a）2+（y-b）2=a2+（b-2）2

令y=0得：x2-2ax+4b-4=0。

则x1+x2=2a，x1·x2=4b-4。

∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1·x2=（2a）2-4（4b-4）=4a2-16b+16。

又∵点M（a，b）在抛物线x2=4y上，∴a2=4b，

∴（x1-x2）2=16，即|x1-x2|=4。

∴线段EG的长度是4。

显然，通过上面的例子不难看出，运用“定义法”求圆锥曲线的方程，首先要探求动点的轨迹是否符合某种曲线的性质——定性;再根据条件确定对称中心——定位;进而求出a，b，c的值——定量;从而求得圆锥曲线的方程——定方程;最后，还要根据题目中告诉的已知条件指出动点的范围——定范围。

（作者单位：甘肃省民勤县第四中学）