基于拟蒙特卡罗方法的虚拟仪器不确定度评定

石艳军　翁炜霖

摘要：针对蒙特卡罗方法在虚拟仪器不确定度评定时存在收敛速度慢、计算结果不稳定、评定效果受仿真次数影响的缺陷，该文提出使用拟蒙特卡罗方法替代蒙特卡罗方法进行虚拟仪器的不确定评定。其核心是产生低偏差数列，通过转换成与虚拟仪器不确定度源相同的概率分布，进行仿真模拟。文中以数字称重传感系统为例，介绍了具体的评定步骤与流程。通过与GUM方法、蒙特卡罗方法的比较，验证了该方法的可取得较好的评定效果，可广泛应用了虚拟仪器的不确定度评定。

关键词： 虚拟仪器；不确定度评定；蒙特卡罗方法；拟蒙特卡罗方法；低偏差数列

中图分类号：TP311 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2015）12-0230-04

Evaluation of Virtual Instrument Measurement Uncertainty Based on Quasi Monte-Carlo Method

SHI Yan-jun，WEI Wei-lin

（ Guangzhou Meteorological Ssatellite Ground Station， Guangzhou 510640， China）

Abstract： Because of the limitations of low convergence， unstable results and sample quantities affecting evaluation quality of Monte-Carlo method， quasi Monte-Carlo method was used to assess virtual instrument uncertainty instead of Monte-Carlo method. The key point was how to produce low discrepancy numbers. These numbers were then transformed into the desirable distributed random numbers which conformed to uncertainty sources of virtual instrument. The paper take a digital weighing system for example， introducing the evaluation steps in detail. The result demonstrated that quasi Monte-Carlo is a better method on uncertainty evaluation， through compared with GUM and Monte-Carlo method. This method can widespread use on evaluation of virtual instrument measurement uncertainty.

Key words： virtual instrument； evaluation of uncertainty； Meonte-Carlo method； quasi Monte-Carlo method； low discrepancy numbers

20世纪80年代在美国兴起的虚拟仪器以其高度的集成性、配置的灵活性和经济性等诸多优点迅速成为研究的热点，并广泛应用于测量控制领域[1]。测量不确定度是用以表征测量结果不能确定的程度，是衡量测量质量的重要指标，ISO 17025[2]标准明确规定：校准实验室或进行自校准的检测实验室，对所有的校准和各种校准类型都应具有并应用评定测量不确定度的程序。

《测量不确定度评定指南》（GUM）提出了A类和B类两种测量不确定度的评定，但由于虚拟仪器的复杂性和多样性，其数学表达式不具有GUM所设定的显示解析、可导、近线性的适用条件，收到相关性的限制[3]。针对GUM的不足，国内外学者对虚拟仪器的不确定度进行了广泛的研究，出现了很多新方法。Salvatore Nuccio等[4]首先提出用数值仿真方法对虚拟仪器的AD转换模块进行不确定度评定，并验证了其准确性。Ghiani E，Locci N等[5-6]提出用蒙特卡罗的数值方法取代GUM对虚拟仪器采样输入信号的数字处理，并开发了一套虚拟仪器不确定度的自动评估软件。王中宇等[7]应用径向基函数神经网络构建数学模型，使用差分方程计算误差传播系数，应用灰色系统理论解决了小样本虚拟仪器的测量。袁敏等[8]对蒙特卡罗方法进行了改进，评定了计算机舍入误差的影响，并应用于数字称重传感器。詹惠琴[3]、王伟[9]等也对蒙特卡罗在虚拟仪器测量不确定度上进行了相关研究。

然而蒙特卡罗方法在模拟仿真时，收敛速度较慢，计算结果不稳定，且受到采样次数的限制；由于伪随机数列的随机性过强而均匀性不足，故使蒙特卡罗方法的应用效果受到影响。因而有专家[10]提出用分布更加均匀地低偏差数列代替伪随机数列进行仿真模拟，称为拟蒙特卡罗方法。目前还未见利用拟蒙特卡罗方法进行虚拟仪器测量不确定度的研究。本文采用拟蒙特卡罗方法对虚拟仪器不确定度评定，其核心是用低偏差的拟蒙特卡罗数列进行模拟仿真。

1伪随机数列和拟随机数列

1.1伪随机数列

蒙特卡罗方法的基本思路是利用概率事件仿真技术产生服从特定概率分布的随机数列来模拟虚拟仪器测量链中的随机误差源，从而获取一系列测量结果，并用统计方法得出虚拟仪器的测量不确定度。仿真效果的关键在于随机数列的质量，最经典的方法是用同余法产生均匀分布的随机数，然后根据相应的变换得到其他分布的随机数列。生成的随机数列要经过随机性检验，但该方法生成的随机数列不是真正的随机数列，称其为伪随机数列。伪随机数列随机性过强而均匀性不足，而虚拟仪器的不确定度源绝大部分属于均匀分布，故仿真效果受到影响。

1.2 拟随机数列

比伪随机数列分布更为均匀的是低偏差数列，即拟随机数列。拟蒙特卡罗方法正是采用拟随机数列代替伪随机数列进行仿真模拟。拟随机数列是基于确定性的点列而不是随机点列，较常见的拟随机数列有halton数列和sobol数列。分别用伪随机数列和sobol数列产生1000个均匀分布的点列，如图1和图2所示，可见sobol数列比伪随机数列更加均匀的分布于样本空间。

此外，拟随机数列对比伪随机数列还有如下优点：①伪随机数列的收敛半径为[ON-0.5]，而拟随机数列[11]的收敛半径为[OlogNdN]，可见收敛速度更快，仿真速度相应提高。②蒙特卡罗模拟精度受伪随机数列采样次数的影响，如表1所示，对均匀分布和正态分布的伪随机数采用不同的抽样次数N，获得其期望与方差，经过10次这样的统计，得到其期望与方差的变动量，可看出，抽样次数越多，期望与方差的变动量越小。而拟蒙特卡罗方法采用的是拟随机数列，拟随机数由于采用确定性的数列，故在较小样本下就能达到稳定。

2 拟随机数列生成与转换

2.1 Sobol数列生成

拟随机数列有多种，本文采用Sobol[12]数列进行模拟，Sobol数列是基于叫做“直接数”的数[di]而构造的。设[qi]是小于[2i]的正奇数，则[di=qi/2i]，数[di]（同时[qi]）的生成借助于系数[ai]只为0或1的简单多项式。多项式表示成：

[f（y）=yp+a1yp-1+…+ap-1y+ap] （1）

对于[i>p]，有递归公式：

[di=a1di-1⊕a2di-2⊕…⊕apdi-p⊕[di-p/2p]] （2）

这里[⊕]表示二进制按位异或。对于[qi]，对等的递归公式为：

[qi=2a1qi-1⊕22a2qi-2⊕…⊕2papqi-p⊕qi-p] （3）

则可以得到Sobol数列第[i]个数：

[si=e1d1⊕e2d2⊕e3d3⊕…] （4）

这里[e1]，[e2]，…是[i]的二进制表示形式。

2.2正态随机数列生成

得到了[0，1]区间上均匀分布的拟随机Sobol数列，就可以用现有的一些算法将均匀分布转化为所需要的其它分布。转化的主要方法就是做累计分布函数的逆变换。一般在虚拟仪器系统中用到最多的就是均匀分布和正态分布，这里介绍转化为正态分布的方法。累计标准正态分布是标准正态分布密度函数的积分。累计标准正态分布函数如下：

[Yx=12π-∞xe-t22dt] （5）

累积标准正态分布的Y轴是服从单位均匀分布U[0，1]的。则从累积标准正态分布的Y轴，我们可以找到相应的其X轴上的样本值，即[xY]，这就是我们需要的仿真值。通常使用的正态分布的逆变换方法是Box-Muller算法、Moro算法等，详见参考文献[13]，这里不再赘述。

3 基于拟蒙特卡罗方法的虚拟仪器不确定度评定

3.1不确定度源

虚拟仪器一般包括传感器、信号调理转换、信号采集、计算机及虚拟仪器软件，系统框图如图3所示。

从理论来说，虚拟仪器各个组成部分均会产生不确定度源，但计算机计算引入的浮点舍入误差并不大，在绝大部分情况下浮点舍入误差的影响远远低于虚拟仪器硬件产生的误差，故这里主要考虑传感器与A/D转换引起的不确定度源，其主要不确定源信息分别如图4和图5所示。

3.2 评定流程

拟蒙特卡罗方法与蒙特卡罗方法的评定方法类似，评定步骤主要为：1.获取所有不确定度源信息，确定其概率分布信息。2.确定样本容量M，产生一系列跟不确定度源分布相同的拟随机数。3.若已知误差传递函数，则根据以下公式进行误差合成

[Δy=?f?x1Δx1+?f?x2Δx2+…+?f?xnΔxn] （6）

其中，[?f/?xi]是误差传播系数，[Δxi]是各不确定度源误差分量，这样可以得到M次试验的误差，统计其标准差，就可以得到虚拟仪器系统的标准不确定度

若未知误差传递函数，虚拟仪器系统不确定度源大多属于此类，可通过建立误差仿真模块，结合GUM评定方法，进行多次测量，对测量结果统计分析，得到虚拟仪器的合成不确定度，其评定流程如图6所示。

3.3评定实例

某数字称重传感系统由称重传感器YZC-B1（激励电压5V，输出电压0～10mV），A/D转换器AD7190和计算机及软件组成。传感器与A/D转换器的不确定度源分别如表2和表3所示。

1）基于GUM方法B类不确定度评定

根据GUM方法B类评定规定，如不确定度源属于均匀分布，则其标准不确定度计算公式为：[uxi=a/3]；如不确定度源属于三角分布，则其标准不确定度计算公式为：[uxi=a/6]；如不确定度源属于正态分布，则其标准不确定度计算公式为：[uxi=a/3]。这里假设环境温度为25℃，分别计算其标准不确定度，各结果见表2和表3。例如由非线性引起的不确定度为：

[u3=0.0016×25/3=0.0231FS%] （7）

由噪声误差引起的不确定为：

[u8=0.01LSB/3=3.3333μV] （8）

故由传感器引起的不确定为：

[us=10mV100u21+…+u24=7.7530μV] （9）

由A/D转换引起的不确定为：

[uad=u25+…+u210=12.0226μV] （10）

则合成标准不准定度为：

[u=u2s+u2ad=14.3057μV] （11）

根据被测重量估计值与电压估计值的关系为：

[y=fx=kx] （12）

计算出[k]值为[0.001g/μV]，则被测量的B类合成不确定为0.0143[g]。

2）依据蒙特卡罗方法及拟蒙特卡罗方法评定

按图4拟蒙特卡罗方法虚拟仪器不确定度评定流程，用伪随机数列和拟随机sobol数列分别对上述不确定度源概率分布进行抽样，抽取服从相应分布的随机数，样本容量M分别取10，50，100，500，1000和5000，根据

[u=fx1+…+x10] （13）

统计其标准差，得到蒙特卡罗方法[mc]与拟蒙特卡罗方法[qmc]合成不确定度的结果如表4所示。

由上表可见，根据采样次数的不同，蒙特卡罗方法评定的结果的范围在0.0126至0.0171之间，拟蒙特卡罗方法评定的结果在0.0144至0.0147之间，在样本容量较小时，如[M=10]和[M=50]，采用蒙特卡罗方法仿真得到的不确定度波动较大，而拟蒙特卡罗方法在小样本仿真时，也可达到很好的效果。统计同一不确定度源不同仿真次数的标准差，采用蒙特卡罗方法仿真的标准差为1.4353，而采用拟蒙特卡罗方法仿真的标准差为0.1355，可看出拟蒙特卡罗方法的稳定性要远高于蒙特卡罗方法。如图7所示，采用GUM方法、蒙特卡罗方法和拟蒙特卡罗方法评定该系统的不确定度结果比较，可看出，当采样次数M>1000时，三者不确定度评定的结果有较好的一致性。

4 结束语

本文旨在探索虚拟仪器不确定度评定的新方法，对比伪随机数列，分析了拟随机数列的均匀性、收敛性、稳定性以及拟随机数列的生成与转换分布。数字称重实验的表明，拟蒙特卡罗方法与传统不确定度方法评定的结果具有较好的一致性，而且可以有效克服GUM方法与蒙特卡罗方法在评定时的缺陷与不足。

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