关于《2014年安徽高考理科数学第21题》的探究

范光龙

研究数列的性质是近几年高考的热点，近几年来，对于数学分析中的数列的极限和收敛等问题频繁出现在高考中，而没有超出范围，是因为我们可以利用函数的不动点和性质，结合数学归纳法来处理数列的单调性和有界性，近几年多个省份都进行考查，2014年安徽高考也是如此。下面我们给出这方面的几个探究。

我们知道不是所有的数列都有极限，如果要研究数列的极限，我们要加强对y=f（x）的要求。

探究一：设函数y=f（x），正项数列{an}满足首相为a1，an+1=f（an），若它们满足以下几个条件：

（1）x0为方程f（x）=x的一个正根；

（2）a1

（3）函数y=f（x）在区间I= （a1，x0）上单调递增；

（4）不等式f（x）>x在区间I上恒成立。

则：a1≤an

下面先用数学归纳法证明：

（1）当n=1时，根据不等式f（x）>x在区间I上恒成立得a1

（2）假设当n=k时命题成立，即a1≤ak

根据（1）（2）得对任意正整数n，原不等式成立。

探究二：设函数y=f（x）满足x0为f（x）=x的一个根，正项数列{an}满足首相为a1=x0，an+1=f（an），则an=x0（证明略）。

探究三：设函数y=f（x），正项数列{an}满足首相为a1，an+1=f（an），若它们满足以下几个条件：

（1）x0为方程f（x）=x的一个正根；

（2）x0

（3）函数y=f（x）在区间I=（x0，a1）上单调递增；

（4）不等式f（x）

则：x0

而2014年安徽高考理科数学第21题第（2）小题：设实数c>0，整数p>1，n∈N+，数列{an}满足a1> ，an+1= ，证明：an>an+1> 。正是这个结论。

当我们掌握好以上内容后，根据探究1解决2005年江西理科数学第21题、2008年全国高考理科数学第22题。根据探究三还可以直接解决2006年湖南理科数学第19题、2006年陕西理科数学第22题。

通过上述描述，函数，数列，不等式是高考的热点话题，他们之间的关系有很多内容有待进一步研究。

（作者单位：安徽省巢湖市第一中学）