将思维外显 让过程可见

徐芳

[摘 要]培养数学理性思维，需要将内隐的思维给以外化。从教学实际来看，外化的方式有多种，如操作、列式、画图、讲述等，其中最关键的在于教师是否拥有并愿意始终坚守儿童立场，从“童心”出发，用“童眼”观照，以契合的方式为学生的数学思考开辟一条清晰的绿色通道。

[关键词]数学 思维 串联脉络

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）08-007

一次，课间随机找了几个三年级的学生聊天：“为什么除法竖式和加法、减法、乘法竖式长得不一样？”他们一脸奇怪地看着我，爽快地回答：“这是规定啊！”“可是数学是讲道理的，就算是规定，也有道理在里头呀！有没有想过是什么道理吗？”看我一脸认真，学生都摇了摇头不再说话。还有一次，和几位教师交谈：“为什么笔算乘法是从低位算起，而笔算除法却从高位算起？”迟疑片刻，他们询问式地回答我：“这是约定俗成的吧？”显然，也没想过！

如果学生在数学学习中只是养成了“被动式的吸收习惯”，他们只习惯于习得，不会基于已有的数学知识进行数学猜想、验证，并探索新的数学秘密，这得多么可怕。所以，在学生的数学学习过程中，将思维外显、使过程可见不仅应当，而且必须，这也将考量着每一位教师的教育智慧。

一、顺应学生思维，展示内心的“想”

每个儿童都是一个独立存在的个体，芸芸众“生”，有着不同的认知起点、特有的思维方式。在尝试将“12÷3=4”写成竖式这一环节时，一部分课前自学过或是家长提前教过的学生写出了除法笔算的标准格式，而另外一些“零起点”的学生则迁移了加减乘竖式的格式。

师：如果这两种写法都对，你们喜欢哪一种？为什么？

生1：我喜欢第二种，因为它写起来很省力。

生2：我也喜欢第二种，因为它简单，第一种写起来太麻烦了。

……

师：大家都喜欢第二种写法，可为什么书上的除法竖式却偏偏是第一种写法呢？

（等待、等待，慢慢地，有小手举起来了）

生3：我已经会算有余数的除法了，如果像第二种那样写，余数就没有地方写了。

生4：是不是因为除法很特别呢？

师：嗯，有道理！我们再轻轻地读一读题目。（苏教版数学二年级下册P4例3：妈妈买了12个苹果，每4个放一盘，可以放几盘？）（演示分苹果：教师拿来12个苹果，学生根据要求将苹果分到盘子里）

师（追问）：妈妈买了12个苹果，一共分掉了几个？妈妈还剩几个苹果？这两个12一样吗？

生5：不一样的，第一个12是妈妈拿来的苹果，第二个12是分掉的苹果。

师：那第二个12是怎么得来的呢？

生6：每4个放一盘，放了3盘。

生7：三四十二。

师：数学是讲道理的。现在再来比较两种写法，你觉得哪一种更有道理？

生8：第一种。

师：为什么呀？

生9：因为这两个12是不一样的。

生10：除法竖式和其他竖式不一样，是有道理的。

上述案例中，最初学生趋同性想法的评判标准是“简单与否”，随着操作、比较、体验、思考的深入，学生发觉了原先想法的不足，朦朦胧胧地感觉到看似“麻烦”的除法竖式对运算是具有记录意义的——“第一个12是妈妈拿来的苹果，第二个12是分掉的苹果”，显而易见，这两个12表示的意思是不同的！由最初的想法提升出新的想法，而后再次趋同接受更为合理的想法。这个过程呈现的不仅是答案，更是对数学的一种思考和体验，是数学思维的外显——能自然地进行思考并且学会了反思自己思考的合理性。这样的“想”，蕴含了严密的逻辑和深刻的理解，怎是“规定”二字所能比拟的？

二、串联知识脉络，学会清晰地“说”

数学学习内容是一个结构严密的整体，有科学的排序、合理的定位，很多知识点环环相扣、层层推进，具有很强的生长性。作为教师，要经常追问自己这样一些问题：“它从哪里来，要到哪里去？”“因谁产生它，因它又会产生谁？”只有当教师自身能清楚地梳理、串联起知识的脉络，才有可能实现学生对数学学习内容的“线性”构建，并予以清晰的口头表达和书面表达，即“说”。

二年级上册，教材安排了“表内乘除法”，而事实上，很多学生在一年级甚至更小的时候就会背诵乘法口诀了。面对这样的现实，教师若依然按部就班地展开教学，显然意义不大，倒不如来一次“从头想起”的串联。

师：听说大伙儿都已经会背4的乘法口诀了，谁愿意展示一下？（多种形式的背诵）

师：“三四十二”这句口诀可以算哪一道乘法算式？

生1：可以算3×4=12，也可以算4×3=12。（请学生在本子上写两道乘法算式）

师：能用加法算式表示吗？在本子上写一写。

生2：3+3+3+3=12。

生3：4+4+4=12。

师：“3+3+3+3=12”表示什么意思呀？

生4：4个3相加。

师：4+4+4=12呢？

生5：3个4相加。

师：小朋友们能不能用简单的符号画一幅简单的图，一眼看出来是3+3+3+3=12，又能看出来是4+4+4=12呢？（此要求的提出是基于学生在前期认识乘法的含义后，教材出现过类似的画面，见苏教版数学二年级上册P23练习四第3题）

展示学生的原创作品1：

○○○        ○○○        ○○○        ○○○

○○○○     ○○○○     ○○○○

交流得出：每一幅图都只能看出一个加法算式。小组讨论：怎样修改？

展示学生的原创作品2：○○○○

○○○○

○○○○

生6：横着看是4+4+4=12，竖着看是3+3+3+3=12。

师：小朋友们真会开动脑筋，想到了这样一幅简单的图，了不起。（教师以箭头连接的方式将学生的思维过程予以呈现）

三四十二→3×4=12、4×3=12→4个3相加：3+3+3+3=12、3个4相加：4+4+4=12→○○○○

○○○○

○○○○

师：看来数学就像一棵树，不管它的枝丫长得有多高、伸出去有多远，都能找到它的树根在哪里。

上述案例中，将知识点体系化的过程花掉了课堂相当一部分的时间，尤其是将算式视觉化更是让学生的思维在不同的碰撞与冲突中走了几个来回。与此相匹配的是，和乘法口诀相关的数学知识在不同学习阶段的表征就这样在学生不急不缓的“说”中得以清晰呈现，知识的来龙去脉一目了然。而学生的思维正如美国数学家斯蒂恩所说：“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思想就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法。”

顺应学生思维，使他们能充分地想;串联知识脉络，让学生会清晰地“说”……将思维外显、使过程可见的路径还有很多很多，其中最关键的在于教师是否拥有并愿意始终坚守儿童立场，从“童心”出发，用“童眼”观照，以契合的方式为学生的数学思考开辟一条清晰的绿色通道。要知道，教学不是简单地传递“是什么”，而是需要适时地多问“为什么”，学生的感悟是因经历才更丰实的，学生的视野是因思维才更拓展的。所以，读透教材，读懂学生的原生态思维，选择恰当的时机和方式“介入”，让隐性的东西显性化，在显性化的比对中让逻辑和理性生长出来，慢慢地成为学生的一种思维习惯和思维品质。

（责编 金 铃）