大规模MIMO系统中基于溢出概率的鲁棒协作波束设计

李新民 邱 玲

(中国科学技术大学电子工程与信息科学系 合肥 230027)

大规模MIMO系统中基于溢出概率的鲁棒协作波束设计

李新民 邱 玲*

(中国科学技术大学电子工程与信息科学系 合肥 230027)

大规模多输入多输出(Massive MIMO)技术通过在基站端配置大规模天线能有效提升5G蜂窝系统容量。考虑信道估计误差对系统性能的影响，该文在多小区大规模MIMO系统中形成了用户信干噪比的非溢出概率约束下最小化系统功率的优化问题。针对非凸概率约束中下行波束难于求解的问题，该文根据矩阵迹的性质将优化问题中的非凸约束缩放，进而提出上下行对偶算法求解波束矢量。为进一步减少多小区系统中信令开销，基于大系统分析，提出了仅采用大尺度信息的分布式算法。仿真结果表明，所提的分布式算法与对偶算法相比，在保证用户信干噪比的概率约束时，降低了大规模MIMO系统中传输瞬时信道状态信息的开销，同时具有良好的鲁棒性。

无线通信；大规模多输入多输出；鲁棒波束；上下行对偶；大系统分析

1 引言

当前无线通信系统中最大的挑战是满足日益增长的高速率需求和保证网络中用户服务质量(Quality of Service, QoS)。由于频谱资源有限，文献[1]首次提出采用大规模天线(Massive MIMO, large-scale MIMO)作为提升第5代(the fifth Generation, 5G)蜂窝系统频谱效率的关键技术。在相同时频资源下，大规模MIMO通过在基站端配置大规模天线，利用高的空间自由度消除干扰和调度更多用户提升系统性能。同时，在多小区MIMO系统中，由于小区间干扰的存在，采用联合传输(Joint Processing, JP)[2]和协作波束成形(Coordinated BeamForming, CBF)[2,3]技术，可以通过协作基站之间共享数据和/或信道状态信息(Channel State Information, CSI)消除小区间干扰、提升系统性能。

大规模MIMO现有研究的主要性能标准是提升系统容量[4,5]和保证QoS下的系统发射功率优化[6−8]。在不同发射天线数目下，对于下行单小区多用户大规模MIMO系统，文献[4]比较了匹配滤波(Matched Filter, MF)和迫零(Zero-Forcing, ZF)线性预编码下的系统容量。文献[5]证明了线性预编码MF和ZF在发射天线数M趋于无穷时，容量具有渐近最优性。文献[6-8]在多小区大规模MIMO系统中，形成了最小化系统发射功率的优化问题。在用户数K≪M时，文献[6]采用随机矩阵理论(Random Matrix Theory, RMT)[9]推导了CBF和JP两种协作方式下最优信干噪比(Signal to Interference plus Noise Ratio, SINR)的渐近表达式。文献[8]根据大系统分析(Large System Analysis, LSA)提出了基于信道统计信息的最小化系统功率的分布式算法。文献[7]将文献[8]的分析方法拓展到min-max发射功率优化问题中，提出了次优的对偶算法。文献[5-10]仅考虑大规模 MIMO系统中基站具有完善信道状态信息的场景。然而，在实际通信系统中，基站无法获得完善CSI。在非完善CSI场景下，多小区大规模MIMO系统容量分析问题也受到广泛关注。文献[11]在RZF(Regularized Zero-Forcing)线性预编码方式下采用Gauss-Markov信道估计模型推导系统和容量(sum capacity)的渐近表达式；由于RZF存在高复杂度的矩阵求逆运算，文献[11]根据纽曼级数提出了一种新的低复杂度的预编码。然而，现有非完善CSI的研究很少关注大规模MIMO系统中发射功率优化问题。

本文研究多小区大规模 MIMO系统中存在信道估计误差时系统发射功率优化问题，其中信道估计误差模型采用Stochastic模型[12]，此模型因采用灵活的非溢出概率作为约束以保证系统QoS而被广泛使用。本文形成了满足非溢出概率约束的最小化系统发射功率优化问题，由于优化问题中存在非凸的概率约束，其关键是要寻找合适的数学方法将非凸概率约束转化成凸约束。现有方法有场景近似法、球形误差模型法、伯恩斯坦不等式和积分法等。文献[13]利用场景近似法将每个概率约束用确定性约束替代，但会导致优化问题的约束规模增加。文献[14]对误差采用球形方式建模，根据球形性质将概率问题转化成体积问题，从而形成凸优化问题。文献[15]根据伯恩斯坦不等式将鲁棒波束设计中非凸的概率约束转化成半正定矩阵约束。文献[16]中的算法将非凸概率约束转化成SOCP(Second Order Cone Programming)问题后采用凸优化工具求解。然而在每次迭代过程中需要通过回程链路传输各小区中用户接收天线与基站发送天线之间的瞬时CSI和用户波束矢量，在发射天线数和用户数很大的大规模MIMO系统中，导致协作系统开销的大量增加。

本文通过对Stochastic模型中非凸概率约束进行缩放，提出了上下行对偶法求解非凸优化问题的新方法，和SOCP相比，降低了算法求解的复杂度；在对偶法基础上，根据文献[8]中的大系统分析进一步提出仅需要协作基站间交互信道大尺度信息的分布式算法，以减少大规模MIMO系统中信令开销。

2 系统模型和问题形成

系统模型如图1所示。考虑平坦衰落信道下多小区多用户系统，协作小区数为L，每小区有K个单天线用户，每小区仅有一个服务基站，基站端配置M个发射天线，考虑M≫K的大规模MIMO的场景。

图1 多小区协作系统模型

由于信道估计误差和量化误差的存在，实际场景中基站端不能获得完善信道信息。非完善信道场景下，考虑采用Stochastic信道估计误差模型，。其中为的估计，表示相应的估计误差。由于信道估计误差的存在，用户端接收SINR不能保证始终满足≥(为小区l中用户k的目标SINR)[16]。本文在Stochastic信道估计误差模型下形成式(3)所示的最小化系统发射功率的优化问题：

3 问题求解

文献[13-16]将非凸的概率约束转化成凸的线性矩阵约束，并通过半定松弛形成SOCP问题，从而采用凸优化工具箱求解。然而，SOCP问题求解需要基站与中心控制器交互瞬时信道状态信息和波束信息，如图1所示。随着大规模 MIMO系统中发射天线数目M的增加，维数增加，算法复杂度和协作基站间信息交互量增加。本节首先缩放SINR的概率约束，提出对偶法求解非凸问题P1，以降低算法的复杂度。此外，在大规模MIMO系统的发射天线数较大时，信道矩阵特征值的分布函数具有确定性[9]。因此，本文进一步根据随机矩阵理论提出基于信道大尺度信息的分布式算法，以改善有限回程容量对算法性能的限制。

定理 1 优化问题P1等价式(4)的P2问题：

证明 P1中非溢出概率约束根据积分法[14]等价为

同理，式(5)不等号左边第2项表达式和不等号右边表达式转化为

式(8)转化过程中，步骤(a)，步骤(b)分别依据柯西不等式和舒尔不等式。将式(6)-式(8)代入式(5)有。由此，优化问题P1的转化证明完毕。

3.1 上下行对偶算法UDDA(Uplink-Downlink Duality Algorithm)

根据下行优化问题P2和上行优化问题P3之间的对偶关系，上下行对偶算法(UDDA)具体流程如下：

将用户上下行波束关系

设σ=1σ2，上下行波束关系, 1KL表示KL维的全1列矢量。式(10)可重新表达为Fϕ=σ，则ϕ为

1)sgn(j,l)为符号函数。若j=l, sgn(j,l )=1，否则sgn(j,l)=−1。

尽管本文提出的UDDA算法相比于SOCP方法能降低优化问题P1求解复杂度，但算法在上行功率和上下行波束关系矢量ϕ的计算中，需要中心控制器获得所有用户接收天线与基站M个发射天线之间的瞬时CSI，即。在大规模MIMO系统中，集中式的波束求解方案为系统带来大量信令开销。

3.2 基于大系统分析的分布式算法DALSA(Distributed Algorithm based on LSA)

为减少大规模MIMO系统中多小区间信令开销，本节在UDDA基础上，根据大系统分析[8]提出一种分布式算法DALSA。

在随机矩阵理论中，N阶随机矩阵X在λ处的Stieltjes变换表示为mX(λ)=(1/N )tr(X−λIN)−1，且mX(λ)仅与X的统计信息有关 2)。根据信道模型，大尺度反映了信道统计信息[8]。在大规模MIMO系统中，根据大系统分析推导出用户上行功率仅与矩阵的Stieltjes变换相关，如式(13)所示：

其中

依据式(13)，DALSA算法采用Stieltjes变换计算用户上行功率和上下行波束关系ϕ。DALSA算法具体流程如下。

步骤1 根据Stieltjes变换迭代计算最优上行功率

步骤 2 上行波束计算(同UDDA算法)；

DALSA算法中上行功率λlk和上下行波束关系ϕ的计算仅采用与信道大尺度信息相关的Stieltjes变换，而不是所有用户瞬时CSI，有效地减少小区间信令开销。

3.3 复杂度分析

本文采用算法实现所需要的实数浮点运算(flops)数目作为算法复杂度的度量，表1给出3种算法的复杂度分析结果。

图2 相对复杂度比率

表1 UDDA, DALSA和SOCP算法复杂度分析

从图2我们可以看出，随着发射天线数M的增加，本文提出的UDDA算法和DALSA算法可以有效地降低算法复杂度。当M=128，用户数K=20时，UDDA算法和DALSA算法复杂度仅为SOCP算法的5%。

4 仿真结果及分析

考虑图1所示的L=3的六边形多小区系统模型。每小区M=128, K=20，用户在小区内随机分布。小区半径R=0.8 km，信道模型中大尺度衰落为128.1+37.6lgd ，小尺度衰落为瑞利衰落。表示小区l中用户k到服务基站的距离，且满足0.1≤＜R。用户噪声σ2=−110 dBm。

本文仿真了3种算法：

(1)为降低鲁棒波束优化问题P1的求解复杂度而提出的上下行对偶算法UDDA；

(2)为减少大规模MIMO系统中信令开销，提出的基于大系统分析的分布式算法DALSA；

(3)对比算法为文献[14]中的算法。

下面将仿真在不同的SINR需求γl，小区间估计误差ψj和溢出概率ε下，UDDA和DALSA算法对系统发射功率的影响和算法的鲁棒性能。算法鲁棒性能定义[15]为：算法在多次信道实现仿真中，能满足系统非溢出概率约束的比值。本文在基站端配置不同发射天线数下，采用2000次蒙特卡洛仿真所提算法的鲁棒性能。

图3比较了在不同目标SINR和不同溢出概率约束下3种算法的系统发射功率。仿真结果表明，在目标SINR大于6 dB，溢出概率为0.10, 0.15和0.20场景下，本文提出的UDDA和DALSA算法均能有效降低系统发射功率。在γl=9dB, ε=0.2的场景下，相比于文献[14]中的算法，DALSA 和UDDA能降低6 dB的系统发射功率，而DALSA算法比UDDA仅多消耗0.6 dB的发射功率。

实际系统中，服务基站和干扰基站距离用户的距离不同，会造成服务信道和干扰信道的估计误差不同。为此，图4仿真了服务信道估计方差为ψl=−20 dB ，不同干扰信道估计误差下，用户数SINR需求与系统发射功率的关系。在低SINR需求的场景下，干扰信道估计误差对两种算法影响很小。由于DALSA算法利用信道大尺度信息而不是瞬时信道信息，因此DALSA算法在高SINR需求的场景下，需要增加发射功率来满足系统QoS需求和非溢出概率约束。但DALSA算法仅交互大尺度信息，有效减少系统信令开销。

图5仿真结果表明，在相同的SINR需求下，DALSA与UDDA具有相近的系统鲁棒性；同时，仿真结果表明，在大规模天线场景下，干扰信道估计误差的增加会降低系统鲁棒性。在γl=16dB，发射天线数M=192, ψj=−10 dB的场景下，系统鲁棒性为64%；而在ψj=−5 dB 的场景下，系统的鲁棒性仅为50%，相比降低14%。随着发射天线数M的增加，系统的鲁棒性提升。

以上仿真表明DALSA算法和UDDA算法能降低系统的发射功率和保证系统的鲁棒性，并且DALSA算法能大幅减少系统开销。

图4 服务信道和干扰信道具有不同估计误差时， 用户SINR需求和系统发射总功率关系

图5 大规模MIMO系统中不同发射 天线数目下两种算法鲁棒性比较

5 结论

本文通过对Stochastic模型中非凸概率约束进行缩放，提出一种新方法UDDA求解非凸优化问题，降低传统SOCP算法求解的复杂度；为进一步减少大规模MIMO系统小区间瞬时CSI开销，根据大系统分析提出仅利用信道大尺度信息的分布式算法DALSA。仿真验证了DALSA算法与UDDA算法均能降低系统的发射功率，并且具有良好的系统鲁棒性能。

图3 用户不同目标SINR下，对偶算法和分布式算法与系统发射功率的关系

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李新民： 男，1989年生，博士生，研究方向为大规模MIMO中信号处理、功率控制.

邱 玲： 女，1963年生，教授，博士生导师，研究方向为无线通信、移动通信、扩频通信、MIMO中的信号处理与异构网络等.

Robust Coordinated Beamforming Design Based on Outage Probability for Massive MIMO

Li Xin-min Qiu Ling
(Department of Electronic Engineering and Information Science, University of Science and Technology of China, Hefei 230027, China)

Massive MIMO technique can effectively increase system capacity in the fifth Generation (5G) cellular network, where Base Station (BS) is equipped with a very large number of antennas. Considering the impact of channel estimation error on performance, the transmission power minimization problem is formulated subject to the non-outage probability constraints of each user's signal to interference plus noise ratio. In respect that the non-convex probability constraints make the downlink beamforming difficult to solve, Uplink-Downlink Duality Algorithm (UDDA) is proposed to design Coordinated BeamForming (CBF) by using the property of trace of the matrix to scale the non-convex probability constraint. To reduce the signaling overhead in Massive MIMO system, a Distributed Algorithm based on Large System Analysis (DALSA) is proposed, which only needs the large-scale channel information. The simulation results show that DALSA, in the targeted SINR constraint, not only reduces instantaneous channel state information transmission overhead in Massive MIMO system, but also performs well in robustness compared with UDDA.

Wireless communication; Massive MIMO; Robust beamforming; Uplink-downlink duality; Large System Analysis (LSA)

TN92

： A

：1009-5896(2015)04-0848-07

10.11999/JEIT140817

2014-06-20收到，2014-08-19改回

国家863计划项目(2014AA01A707)资助课题

*通信作者：邱玲 lqiu@ustc.edu.cn