负二项分布在风险管理中的运用

李高远

摘 要：风险管理中理赔次数的分布一直是学者研究的课题，但由于理赔次数数据量不大，对分布的研究造成了一定的阻碍，因此现实研究中我们有必要找到一个合适的模型来进行拟合，负二项分布能够比较理想的拟合这种分布，本文主要研究这种分布特性，以便在风险管理中很好的运用他们。

关键词：负二项分布；风险管理；建议

负二项分布有一个很重要的性质即方差大于均值，依据这一性质，学者就可以把负二项分布运用的风险管理中，如果利用负二项分布计算出的值中方差越大，均值越小，那么，风险集合中存在的非同质性越严重，反之，非同质性比较平稳。

例如，如果我们设某次风险的索赔次数服从参数为λ的泊松分布即Pk=λke-λk！（k=1，2，L），而风险集Θ的结构函数服H（λ）从参数为（α，β）的Γ分布，则其密度函数为：

那么，从风险集合Θ中随机抽取的风险其索赔次数的分布为

从上边可以看出，上述分布p（x=k）=∫∞0λke-θk！·β（α）e-βλθα-1Γ（α）dλ的参数为α，1β+1，均值和方差分别为αβ和αβα，1β+1，依据负二项分布的定义上述分布不服从负二项分布，因此对于初始投保人，其索赔频率可以初步估计为αβ，假如得到该投保人n年索赔次数的观察值（k1，k2，L，kn），求取调整后的后验估计，由Bayes公式可知的后验密度函数为

根据Γ分布的密度函数，λ的后验概率分布为f（λ|k1，k2，L，kn）服从Γ分布，其参数为（k+α，n+β），均值和方差分别为k+αn+β，k+α（n+β）2.因此.当知道投保人n年的索赔次数观察值（k1，k2，L，kn），其索赔概率估计值可以调整为k+αn+β，当观察时间n→∞时，索赔频率k+αn+β趋近于投保人的真试索赔频率kn，其方差k+α（n+β）2也趋近于零.

索赔次数之间是存在正向传染性的，即每当发生一次索赔下次发生索赔的概率是增加且是线性的，也可以说未来的索赔次数是依赖以前的索赔次数的.用符号表示就是λn=a+b（n-1）（b>0），其中（n-1）为已经发生的索赔频率强度次数，相应的，λn表示第n次索赔频率强度次数。.

我们知道，当λn和以前的索赔概率存在线性关系，则转移机率

pn，n+k（h）=e-λn+k-1k·λn+1Lλn+kb·（2b）L（kb）·（ebh-1）k

其中pn，n+k（h）表示当已经发生n次索赔时，经过一定时间h发生k次索赔的概率，令p（h）=e-bhαn=λn+1b

则有pn，n+k（h）=e-λn+1k·e-kbh·

λn+1（λn+1+b）L[λn+1+（k-1）b]bk·k！·ekbh[1-p（n）]k

=λn+1b·λn+1b+1Lλn+1b+（k-1）k！·e-λn+2h[1-p（n）]k

=αn+k-1k[p（h）]2n[1-p（h）]k

由此可知，在时间长度h为的区间内发生k次索赔的概率服从参数为（αk，p（h））的负二项分布.

得出這一结论是符合我们期望的，它进一步说明了附二项分布在拟合风险管理索赔次数中的合理性，根据负二项分布，如果某一个观察值即投保人发生了索赔，那么我们有理由认为其再一次发生索赔的概率增大，相应的我们就应当适当的调整资费，这就是某些险资机构调整资费的依据，在这一制度下，如果当年投保人有保费需求后，我们可以适当的调整其保费来维持风险管理公司的正常运转，从结论可以看出，投保人索赔次数越多，那么其保费也相应的提高，这就为险资机构或者是保险公司提供了依据，为维护公司利益打下基础。